On Khovanov-Rozansky homology of graphs and links

Cette thèse est consacrée à la catégorification d'invariants polynomiaux d'entrelacs et de graphes. Pour tout entier strictement positif n, Khovanov et Rozansky ont introduit en 2004 une homologie bigraduée d'entrelacs, ainsi qu'une homologie de graphes planaires. Etant donné n, leur homologie d'entrelacs catégorifie la n-ième spécialisation du polynôme d'entrelacs HOMFLYPT et leur homologie de graphes planaires catégorifie un polynôme de graphes associé. Dans cette thèse, on étudie ces homologies et on généralise leur construction en introduisant une graduation supplémentaire. Tout d'abord, on généralise une formule de Jaeger pour les polynômes d'entrelacs aux polynômes de graphes planaires, ainsi qu'à l'homologie de graphes planaires; on étend ensuite l'homologie d'entrelacs de Khovanov-Rozansky aux graphes plongés. Puis on construit une homologie trigraduée d'entrelacs. Cette homologie recouvre l'homologie bigraduée d'entrelacs de Khovanov et Rozansky. Enfin, on donne des exemples, des applications et des généralisations de l'homologie trigraduée d'entrelacs. On développe des outils d'algèbre homologique qui permettent de calculer explicitement l'homologie trigraduée d'entrelacs pour des exemples et on considère des déformations de l'homologie trigraduée d'entrelacs.This thesis is devoted to the categorification of polynomial invariants of graphs and links. For any positive integer n, Khovanov and Rozansky introduced in 2004 a bigraded link homology, and an homology of planar graphs. Given n, their link homology categorifies the n-th specialization of the HOMFLY-PT polynomial and their homology of planar graphs categorifies an associated graph polynomial. In this thesis, we study these homology and generalize their constructions by introducing an additional grading. First, we generalize a formula of Jaeger for link polynomials to polynomials of planar graphs and associated homology of planar graphs; we extend also the link homology of Khovanov and Rozansky to embedded graphs. Then we construct a triply graded link homology. This homology recovers the bigraded link homology of Khovanov and Rozansky. Finally, we give examples, applications and generalizations of the triply graded link homology. We develop homological tools that permit to compute explicitly the triply graded link homology for some knots and we consider deformations of the triply graded link homology