Convergence Rate of the Dirichlet-Neumann Algorithm for Coupled Poisson Equations

This thesis presents and tests the convergence rate of the Dirichlet-Neumann algorithm for two Poisson equations coupled by transmission boundary conditions. Three second order discretisation methods are used when analyzing the convergence: standard equidistant finite difference, standard adaptive linear finite element, and standard adaptive finite volume discretisation of Poisson's equation. The convergence rate of the Dirichlet-Neumann algorithm, when using each of the discretisations for both sub problems, is presented and proved. Using elements of the proofs for the intermediate results leads to a theorem when combining the discretisations. The theorem states that the Dirichlet-Neumann algorithm's convergence rate is entirely independent of the grid used for any combination of the discretisations analyzed. Inspired by these results a general theorem of the convergence rate is presented. Using semi-discrete analysis it is possible to generalize the results to a large subset of discretisations in the asymptotic case. It is possible to remove the asymptotic argument if the discretisations approximate the homogenous solution exactly. All theoretical results were numerically confirmed. The numerical results aligned with the theoretical conclusions.Kopplade differentialekvationer förekommer överallt inom vetenskapens värld. Några sådana exempel är för beräkning av värmeinteraktioner mellan två olika material, luftflödet runt en vinge och blodflödet i ett hjärta. Ett mer specifikt exempel är raketmotorer som riktar ett kraftigt gasflöde med ett munstycke. Detta munstycke blir deformerat på grund av värme och högt lufttryck. Dessa ändringar i munstyckets geometri leder i sin tur till ändrat gasflöde. Detta tvåsidiga beroende gör att man inte kan hantera problemen separat. Det kan finnas information och existerande verktyg för att hantera de separata problemen, något man vill använda sig av. Ett sätt är att använda så kallade iterativa domänsepareringsmetoder. Dirichlet-Neumann-algoritmen är en sådan metod. Iterativa metoder jobbar med serier av approximationer och är bara effektiva om de kan generera korrekta och snabba resultat. Det vanligaste sättet att mäta effektiviteten av en iterativ metod är att analysera konvergenshastigheten. I masterarbetet ”Konvergens-hastigheten för Dirichlet-Neumann-algoritmen för kopplade Poisson-ekvationer” analyseras denna hastighet för en familj av kopplade endimensionella differentialekvationer. Kopplade Poisson ekvationer är en enkel familj av kopplade differentialekvationer. Syftet var att analysera algoritmens konvergenshastighet för en enklare familj av problem och därigenom utveckla potentiell analytisk metodik för svårare differentialekvationer. I arbetet presenteras två olika tillvägagångsätt för att analysera konvergenshastigheten. I den första metoden för att analysera konvergenshastigheten av algoritmen används elementär linjär algebra, vilket kräver stora tidskrävande bevis. Resultatet av detta tillvägagångssätt ger en exakt konvergenshastighet och ett par förhållanden som skulle kunna användas i analys för högre dimensioner. Det andra tillvägagångsättet är mer generellt. De komponenter som påverkar konvergenshastigheten har grundläggande egenskaper som är kopplade till specifika differentialekvationer. Resultatet från detta tillvägagångsätt var konsistent med det första tillvägagångsättet, fast starkare. Till skillnad från det första tillvägagångsättet finns det inget direkt sätt att använda element från detta tillvägagångssätt i högre dimensioner. Resultat från det problemspecifika tillvägagångsättet är intressant. Resultatet från analysen visade att konvergenshastigheten endast är beroende av den kopplade differentialekvationens parametrar. Detta är särskilt intressant eftersom vi fick resultatet för två fullt adaptiva standard-diskretiseringar genom det första tillvägagångsättet och en större familj av diskretiseringar i det andra generella tillvägagångsättet