Poissonin yhtälön lokaali approksimointi satunnaisalgoritmilla

We develop a method to approximately solve Poisson's equation with a symmetric load in a local subdomain of the unit square utilising randomised numerical linear algebra. The local partial differential equation is split into two terms: one with a nontrivial load and a trivial boundary condition and one with a trivial load and a nontrivial but unknown boundary condition. The former can be solved directly with the finite element method, but the latter requires a construction of a subdomain boundary-to-interior operator and its discretisation to deal with the unknown boundary condition. The operator is shown to be compact with an exponentially decreasing spectrum. This allows for low-rank approximations of its discretisation. Unfortunately, traditional low-rank approximation methods are too costly for this scheme. We thus use a randomised algorithm to produce a unitary matrix corresponding to the most important parts of the range of the operator. We also devise a highly efficient iterative stopping criterion for the algorithm. Given the dimension-reduced range matrix, the linear system of equations related to the partial differential equation term with the nontrivial boundary condition can be compressed and solved efficiently. Numerical experiments verify our theoretical error results with moderate tolerances.Kehitämme menetelmän symmetrisen Poissonin yhtälöä lokaaliin approksimointiin yksikköneliössä käyttäen numeerista satunnaislineaarialgebraa. Lokaali Poissonin yhtälö jaetaan kahteen osaan: yhteen, millä on epätriviaali riippuvuus osittaisderivaatoista ja triviaali reunaehto, ja toiseen, millä on triviaali riippuvuus osittaisderivaatoista ja epätriviaali reunaehto. Ensimmäisen osan voi ratkaista numeerisesti suoraan elementtimenetelmällä, mutta jälkimmäisen osan ratkaisu vaatii uudenlaisen lokaalin operaattorin määrittelyä. Tämä operaattori todistetaan kompaktiksi, ja sen singulääriarvot vaimenevat vähintään eksponentiaalisti. Näiden ominaisuuksien takia operaattorin matriisimuoto on helppo approksimoida matala-ulotteisesti. Perinteiset matriisien approksimenetelmät ovat kuitenkin liian kalliita, jonka takia käytämme satunnaislineaarialgebran algoritmia löytämään diskretisoidun operaattorin arvojoukon tärkeimmät osat. Kehitämme myös tehokkaan iteratiivisen pysähdysehdon kyseiselle algoritmille. Tällä matalauloitteiselle matriisilla pakkaamme elementtimenetelmän lineaarisen yhtälöryhmän pienemmäksi ja saamme ratkaistua lokaalin epätriviaalin reunaehdon tehokkaasti. Numeeriset kokeet vahvistavat virheiden teoreettiset raja-arvot maltillisilla toleransseilla