Numerical continuation of standing waves for the Davey-Stewartson equation

This thesis considers solitary standing wave solutions to the Davey-Stewart-son equation, which is a model for surface waves on a body of water in three dimensions. In a special case, the Davey-Stewartson equation is reduced to the well-known non-linear Schrödinger equation with cubic power which is known to have a countable familiy of radial standing waves. One of the aims of this thesis is to investigate whether this also is the case for the Davey-Stewartson equation by considering the linearization around these radial solutions. In particular, for the ground state it can be shown that the kernel is empty if we restrict the equation to even functions. We numerically investigate if the same is true for the excited states. Also, numerical continuation and bifurcation detection is done using the radial solutions as initial values.Denna uppsats behandlar stående våg-lösningar till Davey-Stewartson-ekvationen som är en modell för ytvågor på en tredimensionell kropp av vatten med ändligt djup. Modellen härleddes 1974 av A. Davey och K. Stewartson och utökades senare för att även ta hänsyn till ytspänningseffekter. I ett specialfall reduceras Davey-Stewartson-ekvationen till den tvådimensionella icke-linjära kubiska Schrödinger-ekvationen som är välkänd från teoretisk fysik och kvantmekanik. Det är känt att den ekvationen har en uppräknelig familj av radiella lösningar $\lbrace \psi_n \rbrace_{n=0}^{\infty}$, där varje lösning har exakt $n$ rötter som en funktion av $|x|$. Särskilt så är funktionen utan nollställen känd som ett grundtillstånd. Denna lösning är en avtagande positiv funktion av $|x|$ som går mot noll i oändligheten. De radiella lösningarna $\psi_n$ med $n \geq 1$ kallas exciterade tillstånd. Det går att visa att grundtillståndet är lokalt unikt om man begränsar ekvationen till jämna funktioner. Vi kommer att anta att detta också är fallet för de exciterade tillstånden och numeriskt verifiera detta påstående när det används. Ett av målen med uppsatsen är att undersöka huruvida även Davey-Stewartson-ekvationen har en uppräknelig familj av lokalt unika lösningar genom att studera linjäriseringen kring dessa radiella lösningar. Vi beräknar numeriskt de radiella lösningarna till den icke-linjära Schr\"odinger-ekvationen och använder dessa lösningar som initial data när vi gör numerisk fortsättning för Davey-Stewartson-ekvationen. Den numeriska fortsättningen av en radiell stående våg stakar ut en gren av fler lösningar till Davey-Stewartson-ekvationen, lösningar som annars skulle varit svåra att hitta utan denna teknik. Lösningarna visualiseras i ett bifurkationsdiagram och speciellt är vi intresserade av att undersöka om antalet lösningar till ekvationen förändras längs en gren samt hur olika lösningar uppför sig när vi varierar ekvationens parametrar