Operads and Maurer–Cartan spaces

Cette thèse s’inscrit dans les thèmes de la théorie des opérades et de l’algèbre homotopique. Soient donnés un type d'algèbre, un type de cogèbres et une relation entre ces types de structures algébriques (codés respectivement par une opérade, une coopérade et un morphisme tordant). Il est possible alors de mettre une structure naturelle d’algèbre de Lie à homotopie près sur l’espace des applications linéaires d’une cogèbre C vers une algèbre A. On appelle l’algèbre de Lie `a homotopie près obtenue de cette fac¸on l’algèbre de convolution de A et C. Dans cette thèse, on étudie la théorie des algèbres de convolution et leur compatibilité avec les instruments de l’algèbre homotopique : les infini-morphismes et le théorème de transfert homotopique. Après avoir fait cela, on applique cette théorie à plusieurs domaines, comme la théorie de la déformation dérivée et la théorie de l’homotopie rationnelle. Dans le premier cas, on utilise les instruments développés en construisant une algèbre de Lie universelle qui représente l’espace des éléments de Maurer-Cartan, un objet fondamental de la théorie de la déformation. Dans le deuxième cas, on donne une généralisation d’un résultat de Berglund sur des modèles rationnels pour les espaces de morphismes entre deux espaces pointés.This thesis is inscribed in the topics of operad theory and homotopical algebra. Suppose we are given a type of algebras, a type of coalgebras, and a relationship between those types of algebraic structures (encoded by an operad, a cooperad, and a twisting morphism respectively). Then, it is possible to endow the space of linear maps from a coalgebra C and an algebra A with a natural structure of Lie algebra up to homotopy. We call the resulting homotopy Lie algebra the convolution algebra of A and C. In this thesis, we study the theory of convolution algebras and their compatibility with the tools of homotopical algebra : infinity morphisms and the homotopy transfer theorem. After doing that, we apply this theory to various domains, such as derived deformation theory and rational homotopy theory. In the first case, we use the tools we developed to construct an universal Lie algebra representing the space of Maurer-Cartan elements, a fundamental object of deformation theory. In the second case, we generalize a result of Berglund on rational models for mapping spaces between pointed topological spaces