Propriétés algébriques et homotopiques des opérades sur une algèbre de Hopf

Dans cette thèse, nous démontrons de nouvelles propriétés algébriques et homotopiques des opérades : problème du scindage des opérations et dualité de Koszul sur une algèbre de Hopf. Dans une première partie, nous fournissons une construction opéradique qui donne un cadre général répondant au problème du scindage des opérations définissant des structures algébriques. Nous montrons que cette construction est équivalente au produit noir de Manin et qu elle est reliée aux opérateurs de Rota-Baxter . Nous obtenons ainsi une méthode plus efficace pour calculer des produits noirs de Manin, illustrée par plusieurs exemples. Ceci nous permet de décrire une structure algébrique canonique sur l espace des matrices carrées à coefficients dans une algèbre sur un certain type d opérades. Dans une seconde partie nous étendons la dualité de Koszul classique des opérades aux catégories de modules sur une algèbre de Hopf. Ceci nous permet d obtenir une nouvelle version optimale du théorème de transfert homotopique. Dans ce cas, nous pouvons décrire la structure d algèbre de Batalin Vilkovisky, par exemple, transférée à travers une équivalence d homotopie lorsqu il y a compatibilité entre les données homotopique et algébrique.In this thesis, we prove new algebraic and homotopical properties of operads : splitting of operations and Koszul duality theory over an Hopf algebra. In the first part, we provide a general operadic definition for the notion of splitting of operations defining algebraic structures. We prove that this construction is equivalent to Manin black products and that it is related to Rora-Baxter operators. Thus, we obtain a new and efficient way to compute Manin black products, illustrated by many examples. This allows us to describe a canonical algebraic structure on the space of suqre matrices with coefficients in a algebra over a certain type of operads. In the second part, we extend the classical Koszul duality of operads to the categories of modules over Hopf algebra. This allows us to prove a new and optimal version of the homotopy transfer theorem. In this case, we can describe the BV-albra structure, for instance, transferred through homotypy equivalence when there is compatibility between the algebraic and the homotopic data.NICE-BU Sciences (060882101) / SudocSudocFranceF