Metoda uvjeta optimalnosti za zadaće optimalnog dizajna

In this thesis, we study numerical solutions for optimal design problems. In such problems, the goal is to find an arrangement of given materials within the domain which minimizes (or maximizes) a particular integral functional, under constraints on the amount of materials and PDE constraints that underlay involved physics. We consider such problems in the frame of the stationary diffusion equation and linearized elasticity system for domains occupied by two isotropic materials. In Chapter 1 we review the basic facts about homogenization theory. The definition of H-convergence and composite materials is presented as well as some of their main properties. Chapter 2 focuses on the multiple state optimal design problems for the stationary diffusion equation. We give necessary condition of optimality for the relaxed formulation of optimal design problems, where the relaxation was obtained by the homogenization method. Moreover, we present a new variant of the optimality criteria method suitable for some minimization problems. The method is tested on various examples, and convergence is proved in the spherically symmetric case and the case when the number of states is less then the space dimension. The single state optimal design problem in linearized elasticity is addressed in Chapter 3. We give an explicit calculation of the lower Hashin-Shtrikman bound on the complementary energy in two and three space dimensions, and derive the optimality criteria method for two-dimensional compliance minimization problems.Zadaće optimalnog dizajna pojavljuju se u raznim područjima fizike, mehanike, arhitekture, medicine i sl. Primjerice, minimizacija ukupne količine topline u tijelu ili maksimizacija protoka dva viskozna nemješiva fluida kroz cijev tipični su problemi optimalnog dizajna. U zadaćama optimalnog dizajna cilj je pronaći raspodjelu danih materijala, tako da dobiveno tijelo zadovoljava neke kriterije optimalnosti. Optimalnost raspodjele obično se izražava kroz minimizaciju (maksimizaciju) određenog integralnog funkcionala, uz uvjete na količinu materijala i danu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu koja opisuje makroskopska obilježja proučavanog problema. S obzirom da klasična rješenja (dizajni) najčešće ne postoje, polaznu zadaću je potrebno relaksirati. U prvom poglavlju dajemo pregled osnovnih rezultata teorije homogenizacije, koju koristimo za relaksaciju polaznog problema. Skup svih generaliziranih dizajna, poznat pod nazivom G-zatvarač, poznat je u slučaju mješavine dvaju izotropnih materijala s aspekta vodljivosti, te se disertacija fokusira upravo na dvofazni optimalni dizajn. Zbog svoje kompleksnosti, probleme optimalnog dizajna u praksi je moguće rješavati uglavnom numeričkim metodama, te se u sljedećim poglavljima daju novi numerički algoritmi za rješavanje ovih zadaća. Drugo poglavlje bavi se problemima optimalnog dizajna u vodljivosti s više jednadžbi stanja. Koristeći svojstva G-zatvarača, računamo nužne uvjete optimalnosti za relaksirani problem, koje potom koristimo u razvoju nove varijante metode uvjeta optimalnosti. Pokazuje se da dobiveni algoritam daje konvergentni niz dizajna za neke minimizacijske probleme. Štoviše, u disertaciji je dan dokaz konvergencije algoritma u slučaju kada je broj jednadžbi stanja manji od dimenzije domene te u sferno simetričnom slučaju, gdje se optimalni dizajn može pronaći među jednostavnim laminama. Za probleme linearizirane elastičnosti G-zatvarač nije poznat čak ni za mješavine dvaju izotropnih materijala. No, u posebnim slučajevima korisnim se pokazuju tzv. Hashin-Shtrikmanove ocjene na skup svih mogućih mješavina. Prema tome, u posljednjem poglavlju bavimo se minimizacijom potencijalne elastične energije s jednom jednadžbom stanja. Kako se u nužnom uvjetu optimalnosti za ovaj problem javlja donja HashinShtrikmanova ocjena na komplementarnu energiju, eksplicitno ju računamo u dvodimenzionalnom slučaju, a potom izračunato koristimo u razvoju nove varijante metode uvjeta optimalnosti. Također, dajemo eksplicitnu Hashin-Shtrikmanovu ocjenu u trodimenzionalnom slučaju