Some properties of the irrational topological space

Neste trabalho estudamos algumas propriedades de R\\Q, visto como subespaco topologico de R. Uma caracterização topológica é enunciada e como conseqüência obtemos que R\\Q é homeomorfo ao ^ com a topologia produto de Tychonoff ( com a topologia discreta). Também são vistos resultados sobre o espaço de Cantor que é um subespaço importante de R\\Q. Em ZFC (sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel com o Axioma da Escolha) ou em ZFC com algum outro axioma (por exemplo, Hipótese do Contínuo, Axioma de Martin, igualdades entre pequenos cardinais) são exibidos exemplos de espaços topologicos normais e espaços normais de Lindelöf, cujo produto com R\\Q não é normal. Usando a noção de P(2)-espaço de K. Morita, mostra-se que para todo P(2)-espaço normal X, vale que X×(R\\Q) é normal. Alem disso, temos que se X é um espaço normal tal que X×S é normal, para todo subespaço S de R\\Q, então X é um P(2)-espaço.In this work we study some properties of R\\Q seen as topological subspace of R. A topological characterization is given and as a consequence, we obtain that R\\Q is homeomorphic to ^ with the Tychonoff product topology ( with the discrete topology). We also study the Cantor space which is an important subspace of R\\Q. In ZF C (Zermelo-Fraenkel axiomatic system with the Axiom of Choice) or ZFC with some other axiom (for example, Continuum Hypothesis, Martins Axiom, equalities between small cardinals) it is shown examples of normal or Lindelöf normal topological spaces such that the product with R\\Q is nonnormal. Using K. Moritas P(2)-space, it is shown that for all normal P(2)-space X, the product X ×(R\\Q) is normal. Besides, we have that if X is a normal space such that X ×S is normal, for all subspace S of R\\Q, then X is a P(2)-space