Least energy solutions for elliptic problems

Questa tesi di Dottorato riguarda lo studio dell'esistenza di soluzioni di minima energia e soluzioni nodali di minima energia per problemi ellittici non lineari in presenza di una nonlinearità con condizioni di crescita subcritica. La tesi è divisa in tre capitoli. Nel primo capitolo vengono richiamati nozioni e risultati di base, che saranno necessari per dimostrare i nostri risultati principali. Infatti, in molti problemi di calcolo variazionali, non è sufficiente parlare di soluzioni classiche delle equazioni differenziali, ma è necessario introdurre la nozione di soluzione debole e lavorare nei cosiddetti spazi di Sobolev. Nel secondo capitolo, proviamo un risultato generale di esistenza di soluzioni di minima energia e soluzioni nodali di minima energia per un particolare problema problema di Dirichlet, caratterizzato da una funzione di Carathéodory. L'ultimo capitolo riguarda la generalizzazione di alcuni risultati precedenti ralativi a casi speciali di f. Infini, saranno proposti alcuni problemi aperti, riguardanti la restrizione alla varietà di Nehari del funzionale dell'energia associato al problema di Dirichlet, quando la non linearità è del tipo $f(x; u) = \lambda |u|^{s-2} u - \mu|u|^{r-2} u$ con $s, r \in (1; 2)$ and $\lambda ; \mu> 0$