Multivariate Stochastic Prioritization of Dependent Actuarial Risks Under Uncertainty

The main prompting factor behind decision making is comparing or ordering risks. Risk management strategies should be based on the dynamics of stochastic ordering relations and influences of decision makers' tendencies on risk prioritization. The objective of this thesis is to construct a concept for stochastic risk prioritization of multivariate aggregate claims. The definition of risk from perspectives of individuals, companies or governments may vary according to their risk perceptions, as risk is indicated not only by objective measures but also by subjective characteristics. In order to describe the risk accurately, the theoretical background of multivariate stochastic prioritization of dependent actuarial risks should be understood. For this aim, we familiarize ourselves with order theory that allows comparing and ordering objects characterized by multiple indicators. Being an important issue of human behaviour, this area falls within the boundaries of several fields, one of which - public health - is our specific interest. We intend to apply the order theory to a chosen risk area such as foodborne or agricultural risks, since they are rather vulnerable aspects of public health. Analytic tools may not always be sufficient for prioritization especially when we work on environmental risks. Hence, geographic information system is a useful tool for risk prioritization in such cases. In this thesis, we aim to prioritize aggregate claim vectors of different risk clusters in agricultural insurance under the assumption that the individual claims exposed to similar environmental risks are dependent. For this purpose, first we obtain risk clusters for a crop-hail insurance portfolio considering spatial and temporal features of hazard regions. We propose an extended approach for differential evolution optimization which determines the optimal sample set used in inverse distance weighting with reduction technique. Second, we prioritize the aggregate claims taken as actuarial risks by using various stochastic ordering relations that are studied within the framework of partial order theory. These relations are stochastic dominance, stochastic majorization and stop-loss dominance. Having discussed the concept of risk itself, we also investigate the risk measures which could be sufficient and accurate criteria for determining the riskiness of a portfolio. The classical first-order stochastic dominance is useful to design the risk prioritization context. We also suggest stochastic majorization relation according to multivariate representation of actuarial risks. This relation is very beneficial for our study since it enables us to order aggregate claim vectors partially using Schur-convex risk measures. On the other hand, we consider the impacts of risk perception on prioritization of risks. Working within this context and attempting to contribute to it, we seek for a behavioral approach which could enhance and facilitate the description of the choices individuals make in risky situations. An example of such approaches could be cumulative prospect theory (CPT), as a more accurate alternative to expected utility theory. In the stop-loss dominance context, we adapt the zero-utility premium principle in order to obtain solutions for stop-loss premiums and propose stop-loss dominance relation under CPT.1) Republic of Turkey Ministry of Food, Agriculture and Livestock, General Directorate of Agricultural Research and Policies (TAGEM) and Agricultural Insurance Pool (TARSIM), FUK-2015-6321 2) Hacettepe University, Scientific Research Projects Coordination Unit, FHD-2018-16686 3) Scientific and Technological Research Council of Turkey (TÜBİTAK), 22111. INTRODUCTION2. DECISION MAKING UNDER UNCERTAINTY3. STOCHASTIC ORDERING RELATIONS FOR RISK PRIORITIZATION4. RISK PRIORITIZATION THROUGH STOP-LOSS DOMINANCE UNDER CUMULATIVE PROSPECT THEORY5. RISK PRIORITIZATION THROUGH STOCHASTIC MAJORIZATION6. RISK CLUSTERING THROUGH SPATIOTEMPORAL INTERPOLATION7. CONCLUSION AND FURTHER STUDYRiskleri karşılaştırmak; riskleri ortaya çıkaran faktörlerin karakteristiklerini dikkate alarak, karar verme aşamalarında adil ve doğru standartlar altında uygulanan en temel süreçtir. Risk yönetimi açısından ele alındığında ise riskleri sıralandırmak, özellikle süre ve maliyet optimizasyonu açısından önemli bir bileşendir. Çevresel riskleri önceliklendirmek ise riskleri coğrafik olarak karşılaştıran ve sıralandıran spesifik bir alandır. Analitik araçlar, önceliklendirme için her zaman yeterli olmayabilir. Bazı durumlarda, özellikle çevresel risklerin değerlendirilmesi ile ilgilenildiğinde, verideki coğrafik bilgi dikkate alınmalıdır. Bu çalışmada, benzer çevresel risklere maruz olan tarım sigortası hasarların bağımlılığı dikkate alındığında; tarımsal sigortalarda aktüeryal risklerin meteorolojik karakteristiklerinin tahmin edilmesi, kümelendirilmesi ve stokastik sıralandırma bağıntıları kullanılarak önceliklendirilmesi amaçlanmaktadır. Çalışmada ele alınan sıralandırma bağıntıları birinci dereceden stokastik baskınlık, toplam hasar fazlası baskınlığı ve stokastik baskılama bağıntılarıdır. Tezde, TARSİM tarım sigortaları havuzunun sağladığı veri setinde 2014 yılında gerçekleşen hasarlara ilişkin bilgiler kullanılmıştır. 100’den fazla ürünü, 5 farklı tehlikeye karşı teminat altına alan sigorta ürünlerine ilişkin prim, sigorta bedeli, hasar tarihi, hasar nedeni, ödenen/muallak tazminat tutarı, hasar oranı vb. bilgileri kapsayan veride yapılan düzenlemeler ile veri seti kendine özgü bir hale dönüştürülmüştür. Aktüeryal risklerin öncelendirilmesi için bitkisel dolu sigortası portföyünde ortaya çıkan bireysel hasarlar ve her bir risk kümesine ait toplam hasarlar ele alınmıştır. Tehlike bölgeleri ve bitkisel ürün sınıfları dikkate alınarak kurulan modelde, toplam hasar vektörleri elde edilmiştir. Bu amaçla öncelikle; meteorolojik değişkenlerin girdi olarak ele alındığı mekansal-zamansal interpolasyon teknikleri kullanılarak bireysel poliçelere ait meteorolojik değişkenler tahmin edilip aktüeryal riskler kümelendirilmiştir. Ardından, vektör sıralamasında kolaylık sağlayan kısmî sıralama teorisi çerçevesinde önerilen stokastik sıralandırma bağıntıları kullanılarak aktüeryal riskler önceliklendirilmiştir. Aktüeryal risklerin yönetimi ve değerlendirilmesi sürecinde; çevresel riskler, sigorta türünün dinamikleri açısından sıklıkla kullanılan hayat ve hayat-dışı sigorta ürünlerinden farklılık arz etmektedir. Klasik sigorta ürünlerinin risklerinin aktüeryal değerlemesinde analitik araçlar etkili performans göstermektedir; ancak tarımsal sigortalarda bu araçların etkinliği azalabilir. Bu çalışmada, farklı meteorolojik değişkenlerin ve coğrafi bilginin tarımsal sigorta risklerine etkisi birlikte incelenmiştir. Klasik risk kuramında bireysel hasarların bağımsız olduğu varsayılmasına rağmen, literatürde bu varsayımın gerçekçi olmadığını ileri süren ve doğrulayan birçok çalışma bulunmaktadır [1-3]. Aynı tehlikelere veya fiziksel ve finansal çevre gibi benzer olumsuz etkilere maruz oldukları için bireysel riskler bağımlı olabilirler. Örneğin, bir tarımsal sigorta portföyündeki hasarlar, aynı meteorolojik olayın meydana gelme olasılığına ve sonuçlarına maruz olabilir. Aynı coğrafik alanlarda üretilen bitkisel ürünler aynı fiziksel çevredeki benzer tehlikelerle karşı karşıyadır. Bu çalışmada, ayrık risk kümelerine ait bağımlı toplam hasar raslantı değişkenlerinin önceliklendirilmesi tartışılmaktadır. Bunun yanı sıra, aynı risk kümesindeki hasarların bağımlı oldukları varsayılmaktadır. Model kurulumu, bu bağımlılığı yansıtacak şekilde vektörel tanım ile yapılmıştır. Model kurulumuna ek olarak, portföy hakkında yeterli bilgiyi içeren ve bunu doğru yansıtan bir risk ölçütü tanımlamak riskin değerlendirilmesi için en önemli işlevlerden birisidir. Risk ölçütü belirlenirken, ortalamanın yanı sıra ortalama etrafında yayılma ve korelasyonun da dikkate alınması gerekir. Bağımlılık durumunda toplam hasarın ortalaması bağımsızlık durumundan farksız olarak elde edildiğinden; bu çalışmada hem değişkenliği, hem de bağımlılığı hesaba katan "değişim katsayısı" ve "(standartlaştırılmış) genelleştirilmiş varyans" gibi risk ölçütleri ele alınmıştır. Aktüeryal risk olarak toplam hasar raslantı değişkeni kullanılacağından bu ölçütler çokdeğişkenli analiz çerçevesinde tanımlanmıştır. Risk değerlendirmesi için riskin nasıl tanımlandığını göz önünde bulundurmak önem taşımaktadır. Literatürde yer alan birçok risk tanımı incelendiğinde riskin miktarının belirlenebileceği, ölçülebileceği ve mevcut veri yardımıyla matematiksel bir ilişki olarak ifade edilebileceği sonucuna ulaşılmıştır. Bunun yanı sıra, riski değerlendirirken sadece etkilenen kişi sayısının veya sadece sonuç senaryo üzerindeki finansal etkinin dikkate alınmasının yeterli olmadığı ve bu faktörlerin beraber ele alınması gerektiği düşünülmektedir. Riskin teknik açıdan değerlendirilmesine ilişkin bu tarştışmalara ek olarak, belirsizlik altında karar verme ve tercihlerin modellenmesi kapsamında riskin subjektif yanının da göz ardı edilmemesi gerekmektedir. Karar vericilerin rasyonel olduğu varsayımına dayalı olan geleneksel beklenen fayda kuramının aksine, bireylerin veya kurumların karar verirken yansız olmadıklarını gösteren birçok çalışma bulunmaktadır [4-9]. Bu çalışmada, bireylerin risk algısını ve risk önceliklendirmede yanlı karar verme süreçlerini dikkate alan bir modelleme geliştirmek amacıyla kümülatif beklenti teorisi ele alınmıştır. Sıfır fayda prim ilkesi çerçevesinde, bazı özel tanımlı değer fonksiyonları için toplam hasar fazlası reasürans primleri elde edilmiştir. Elde edilen bu çözümler yardımıyla, kısmî sıralama teorisi çerçevesinde toplam hasar fazlası sıralandırma bağıntısı önerilmiştir. Çalışmanın temelini oluşturan bir diğer stokastik sıralandırma ise stokastik baskılamadır. Stokastik baskılama geleneksel vektör sıralamasına kıyasla daha kullanışlı bir bağıntıdır. Schur-konveks fonksiyonlar bu bağıntının en temel araçlarıdır. Riskleri sıralandırmak için kullanılan birçok risk ölçütü arasında yer alan ve Schur-konveks fonksiyonlar olan varyans ve değişim katsayısı önemli değişkenlik ölçütleri olarak bu çalışmada kullanılmıştır. Ayrıca, toplam hasar raslantı değişkeninin sürekli olması nedeniyle çalışmada önerilen model kurulumuna bağlı olarak baskılama aksiyomları adapte edilmiştir. Uygulamada, veride yer alan mevcut tehlike bölgesi gruplandırmasının bu bağıntının aksiyomlarını sağlamadığı ve risk kümelendirilmesinin yeniden yapılması gerektiği anlaşılmıştır. Çalışmanın ilk aşaması olan mekansal-zamansal interpolasyon için literatürde en sık kullanılan kriging, ters mesafe ağırlıklandırma, rasgele orman ve bu yöntemlerin çeşitli genişletilmiş versiyonları arasından azaltma yaklaşımıyla ters mesafe ağırlıklandırma yöntemi kullanılmıştır. Bir mekansal-zamansal interpolasyon yönteminin performansı, örneklemin dinamikleri ve dizaynına, veri setine ve örneklem üzerinde etkisi olan faktörler arasındaki ilişkiye göre değişkenlik göstermektedir. Sözü geçen nedenlerden ötürü bu çalışmada, tarımsal hasarların gerçekleştiği konum ve zamana ilişkin bilinmeyen meteorolojik verilerin tahmin edilmesi için; daha etkin ve daha iyi performans gösterdiği birçok çalışma ile gösterilen ters mesafe ağırlıklandırma yöntemi tercih edilmiştir. Bu yöntem uzaklık esaslı bir yöntem olduğundan; örneklem noktalarından hem mekansal, hem de zamansal olarak uzaklıkları dikkate alan mekansal-zamansal interpolasyon tekniği olarak kullanılabilir. Mekansal-zamansal interpolasyon tekniği için gerekli olan optimal örneklem kümesinin, her bir hasar için ayrı ayrı belirlenmesi gerekmektedir. Bunun için, literatürde yer alan paralel stokastik optimizasyon teknikleri arasından dolaysız arama yöntemi olan diferansiyel gelişim algoritması kullanılmıştır. Model kurulumuna dayalı olarak tek değişkenli değişkenler için önerilen algoritma, bu çalışmada çokdeğişkenli duruma uyarlanarak geliştirilmiştir. Ayrıca algoritmanın karar verici kriterlerinden birisi olan popülasyon büyüklüğünün seçimi için de bir çözüm önerisi sunulmuştur. Hasar verisine ilişkin enlem, boylam ve yükseklik bilgileri ele alınarak optimal girdi olarak kullanılacak örneklem noktaları, tahmin hatasını ve noktalar arasındaki mesafenin değişim katsayısını içeren bir maliyet fonksiyonunu minimize edecek şekilde belirlenmiştir. Tahmin edilen meteorolojik değişkenlerin tarımsal risklerin kümelendirmesine etkisini dikkate alan model-bazlı kümeleme çalışması ile toplam hasar vektörleri olarak ifade edilen riskler gruplandırılmıştır. Risk kümelerine ait toplam hasar rasgele vektörleri kısmî sıralama teorisi çerçevesinde önerilen stokastik bağıntılar ile önceliklendirilmiştir