Dinamički sustavi u ravnini

U diplomskom radu definirali smo osnovne pojmove i koncepte dinamičkih sustava u ravnini. Dinamika linearna preslikavanja u dvije i tri dimenzije ovisi o pripadnim svojstvenim vrijednostima njihove matrične reprezentacije, kao i invarijantni potprostori. Zatim smo definirali potkovasto preslikavanje i pripadnu simboličku dinamiku. Pokazali smo da je potkovasto preslikavanje restringirano na svoj invarijantni skup topološki konjugirano pomaku na pripadnom prostoru itinerera te istražili neka zanimljiva svojstva. S ravnine smo prešli na torus kako bi pokazali da su preslikavanja na torusu kaotična, iako im se dinamika može u potpunosti jednostavno opisati. Zatim smo promatrali treći tip višedimenzionalnog dinamičkog fenomena, a to su atraktori. Promatrali smo dva tipa atraktora, solenoid i Plykinov atraktor te preslikavanja na njima za koja smo pokazali da su kaotična. Važno svojstvo svih prethodnih preslikavanja je hiperboličnost te stabilni i nestabilni skupovi koji su posljedica tog svojstva. Najvažniji rezultat ovog rada je Teorem [5.7] koji nam govori o uvjetima postojanja stabilnih i nestabilnih mnogostrukosti, odnosno skupova.In this master thesis we defined the basic definition and concepts of the dynamics systems in the plane. The dynamic of linear mapping in two and three dimensions depends on eigenvalues of their corresponding matrix representation, as well as the invariant subspaces. Then we defined Smale's horseshoe map and the associated symbolic dynamics. We showed that Smale's horseshoe map is reduced to its invariant subset and topologically conjugated to the shift map of the relevant itinerary space and we also explored some interesting properties. From the plane we moved to the torus to show that the map on the torus is chaotic, although their dynamics can be easily described. Then we looked at the third type of multidimensional dynamical phenomenon, which are the attractors. We observed two types of attractors, a solenoid and Plykin's attractor, as well as mappings on them which we have shown that to be chaotic. An important feature of all previous mappings is hyperbolicity and stable and unstable subspaces resulting from this feature. The most important result of this work is the Teorem [5.7] that tells us about the conditions of existence of stable and unstable manifolds