Barycentric subdivisions, clusters and permutation enumeration

The local h-polynomial of a subdivision of the simplex was defined by Stanley. He also proved that the local h-polynomial of the barycentric subdivision of the simplex is equal to the derangement polynomial, that enumerates permutations without fixed points according to the number of excedances. As an analogue, another barycentric subdivision is studied and results on the enumeration of singed permutations without fixed points are derived. Moreover, it is proved that the local h-polynomial is γ-nonnegative for the cluster subdivision and combinatorial interpretations are given in terms of noncrossing partitions for the classical root systems. Finally, the tranformation of the cubical h-vectors of a cubical complex under cubical barycentric subdivision is studied.Το τοπικό h-πολυώνυμο για μία υποδιαίρεση του μονοπλόκου ορίστηκε από τον Stanley, ο οποίος και απέδειξε ότι το τοπικό h-πολυώνυμο της βαρυκεντρικής υποδιαίρεσης του μονοπλόκου είναι ίσο με τη γεννήτρια συνάρτηση του πλήθους των υπερβάσεων στις μεταθέσεις χωρίς σταθερά σημεία. Κατ' αναλογία, εμείς μελετούμε μία βαρυκεντρική υποδιαίρεση με εφαρμογές στην απαρίθμηση μεταθέσεων της υπεροκταεδρικής ομάδας. Επιπλεόν, για τις υποδιαιρέσεις σμηνών αποδεικνύεται ότι το τοπικό h-πολυώνυμο είναι γ-μη αρνητικό. Στην περίπτωση των κλασικών συστημάτων ριζών δίνονται συνδυαστικές ερμηνείες μέσω μη διασταυρούμενων διαμερίσεων. Τέλος, μελετούμε πώς μεταβάλλονται τα κυβικά h-διανύσματα ενός κυβικού συμπλέγματος μέσω κυβικής βαρυκεντρικής υποδιαίρεσης