Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral a propos d'une conjecture d'Erdős-Oler

RésuméLes empilements optimaux de n cercles égaux dans un triangle équilatéral ne sont connus que pour les première valeurs de n(n ⩽ 12) et pour les nombres triangulaires, c'est à dire les nombres de la forme Δ(k) = k(k + 1)/2, cas où l'empilement dans le triangle est un ‘morceau’ de l'empilement optimal dans le plan. Erdős et Oler ont conjecturé (1961) que pour n = Δ(k − 1) l'empilement optimal était obtenu à partir de l'empilement optimal de Δ(k) cercles en enlevant un cercle quelconque. Cette conjecture n'est montrée que pour k ⩽ 4. Nous donnons une preuve pour k = 5 (empilement de 14 cercles). Cette preuve s'étend de manière un peu plus laborieuse pour k = 6 (empilement de 20 cercles) et devrait permettre une approche de la conjecture générale.11La recherche des preuves a été grandement facilitée par l'utilisation de Cabri-géométre, un logiciel de géométrie développé dans notre laboratoire (LSD2-IMAG) [1].AbstractOptimal packings of n equal disks in an equilateral triangle are only known for n ⩽ 12 and for n of the form Δ(k) = k(k + 1)/2. In this case, optimal arrangements are given by the regular lattice arrangement corresponding with the densest packing in the plane. The optimal arrangements for n = Δ(k) − 1 seem to be obtained by removing one arbitrary disk from the optimal arrangement for Δ(k) disks. This conjecture was posed as an open problem by Erdős and Oler in 1961. Its validity is known for k ⩽ 4. In this paper, we give a proof for k = 5 (arrangement for 14 disks). This proof can be extended for the case k = 6 (arrangement for 20 disks) and should allow an approach of the general conjecture.