Les Systèmes Triples de Hall de Dimension 4

Un “système triple de Hall” (STH) est un système triple de Steiner dans lequel tout triplet de points non colinéaires engendre un sous-système isomorphe au plan affine à neuf points AG(2, 3). Rappelons que tous les sous-ensembles générateurs minimaux d'un STH donné ont mê6me cardinal d + 1, où d est appelée la dimension du STH considéré. Tout STH non affine est de dimension au moins 3, et l'on sait qu'il existe un seul STH non affine de dimension 3. Dans ce travail nous montrons que les STH de dimension 4 sont d'ordre v = 3s avec 4 ⩽ s ⩽ 12, et il apparaît que pour s = 4, 5, 6, 7 ou 12 il existe un seul STH correspondant.A Hall triple system (HTS) is a Steiner triple system in which any three non-collinear points generate an affine subplane AG(2, 3). Recall that any two minimal generator sets of a HTS have the same cardinal number d + 1 and that d is called the dimension of the considered HTS. Any non-affine HTS has dimension d ⩾ 3 and the well-known non-affine HTS of order 34 has dimension 3. In this paper the four-dimensional HTSs are shown to be of order v = 3s where 4 ⩽ s ⩽ 12 and it turns out that for s = 4, 5, 6, 7 or 12 there exists exactly one corresponding system