Gaussian multiplicative chaos and applications to Liouville quantum gravity

Dans cette thèse, nous nous intéressons par des approches probabilistes à la gravité quantique de Liouville, introduite par Polyakov en 1981 sous la forme d'une intégrale de chemin sur les surfaces 2d. Pour définir cette intégrale de chemin avec interaction exponentielle, nous partons du chaos multiplicatif Gaussien, l'outil fondamental pour définir l'exponentielle des champs Gaussiens de corrélation logarithmique. Dans un premier temps, nous généralisons la construction de la gravité quantique de Liouville sur la sphère de Riemann à une autre géométrie avec bord, celle du disque unité. La nouveauté de ce travail réalisé en collaboration avec R.Rhodes et V.Vargas, est d'analyser avec soin le terme du bord dans l'intégrale de chemin ainsi que l'interaction entre la mesure du bord et la mesure du disque. Nous établissons rigoureusement les formules de la théorie conforme des champs en physique, telles que la covariance conforme, la formule KPZ, l'anomalie de Weyl ainsi que la borne de Seiberg. Une borne de Seiberg relaxée dans le cas de la gravité de Liouville à volume total fixé sur le disque est aussi formulée et étudiée. Dans la seconde moitié de cette thèse, nous comparons cette construction à la Polyakov avec une autre approche de la gravité quantique de Liouville. En collaboration avec deux autres jeunes chercheurs J.Aru et X.Sun, nous fournissons une correspondance entre ces deux approches dans un cas simple et important, celui de la sphère de Riemann avec trois points marqués. En mélangeant les techniques de ces deux approches, nous fournissons une nouvelle procédure d'approximation qui permet de relier ces deux différentes approches.In this thesis, we study the theory of Liouville Quantum Gravity via probabilist approach, introduced in the seminal paper of Polyakov in 1981, using path integral formalism on 2d surfaces. To define this path integral with exponential interaction, we started from the theory of Gaussian Multiplicative Chaos in order to define exponential of log-correlated Gaussian fields. In the first part, we generalise the construction of Liouville Quantum Gravity on the Riemann sphere to another geometry, the one of the unit disk. The novelty of this work, in collaboration with R.Rhodes and V.Vargas, is to analyse carefully the boundary term in the path integral formalism and its interaction with the bulk measure. We establish rigorously formulae from Conformal Field Theory in Physics, such as conformal covariance, KPZ relation, conformal anomaly and Seiberg bounds. A relaxed Seiberg bound in the unit volume case of Liouville Quantum Gravity on the disk is also announced and studied. In the second part of this thesis, we compare this construction in the spirit of Polyakov to another approach to the Liouville Quantum Gravity. In collaboration with two other young researchers, J.Aru and X.Sun, we give a correspondance between these two approaches in a simple but conceptually important case, namely the one on the Riemann sphere with three marked points. Using technics coming from these two approches, we give a new way of regularisation procedure that eventually allow us to link these two pictures