Similarity problems and extended spectrum of an operator

Dans ce mémoire on s'intéresse à quelques problèmes de similarités ainsi qu'au spectre étendu d'un opérateur. Dans la première partie, on donne des critères de similarité à certaines classes d'isométries partielles et on obtient par exemple le résultat suivant. Soit T un opérateur sur H un espace de Hilbert. T est similaire à la somme directe d'un opérateur de Jordan et d'une isométrie si et seulement si T est à puissances bornées, T a une ascente finie et il existe un opérateur S E [appartenant à] B(H) à puissances bornées tel que Tn Sn Tn =Tn , pour tout n de N . Ces résultats peuvent être vus comme des résultats partiels pour un problème ouvert posé par Badea et Mbekhta en 2005. Dans la seconde partie, on obtient un critère de similarité conjointe à deux contractions qu'on applique pour obtenir des résultats de perturbation d'opérateurs conjointement similaires à des contractions. Le spectre étendu d'un opérateur est traité dans le dernier chapitre. Quelques liens avec d'autres spectres d'un opérateur sont proposés avant d'étudier le comportement du spectre étendu de certaines classes d'opérateurs. Enfin, on utilise le spectre étendu pour donner des critères d'hypercyclicité qu'on comparera à celui de Godefroy-Shapiro.Ln this thesis, we study some similarity problems and the extended spectrum of an operator. ln the first part, we give criteria of similarity to some classes of partial isometries. For example, we obtain the following result. Let T be an operator on H an Hilbert space. T is similar to the direct sum of a Jordan operator and an isometry if and only if T is power-bounded, T has a finite as cent and there exists a power~bounded operator S E B(H) so that TnsnTn = Tn, for all n of No This results can be seen as partial results to an open problem of Badea and Mbekhta (2005) . ln the second part, we obtain a criterion of joint similarity to two contractions that we apply to have results of pertubation of operators jointly similar to contractions. The extended spectrum is the subject of the last part. Some of its links with other spectra of an operator are proposed before studying the behaviour of the extended spectrum of sorne classes of operators. Finally we use the extended spectrum to give criteria of hypercyclicity that we will compare to a criterion of Godefroy and Shapir