Black-scholes type equations

In this work we are concerned with the analysis and numerical solution of Black-Scholes type equations arising in the modeling of incomplete financial markets and an inverse problem of determining the local volatility function in a generalized Black-Scholes model from observed option prices. In the first chapter a fully nonlinear Black-Scholes equation which models transaction costs arising in option pricing is discretized by a new high order compact scheme. The compact scheme is proved to be unconditionally stable and non-oscillatory and is very efficient compared to classical schemes. Moreover, it is shown that the finite difference solution converges locally uniformly to the unique viscosity solution of the continuous equation. In the next chapter we turn to the calibration problem of computing local volatility functions from market data in a generalized Black-Scholes setting. We follow an optimal control approach in a Lagrangian framework. We show the existence of a global solution and study first- and second-order optimality conditions. Furthermore, we propose an algorithm that is based on a globalized sequential quadratic programming method and a primal-dual active set strategy, and present numerical results. In the last chapter we consider a quasilinear parabolic equation with quadratic gradient terms, which arises in the modeling of an optimal portfolio in incomplete markets. The existence of weak solutions is shown by considering a sequence of approximate solutions. The main difficulty of the proof is to infer the strong convergence of the sequence. Furthermore, we prove the uniqueness of weak solutions under a smallness condition on the derivatives of the covariance matrices with respect to the solution, but without additional regularity assumptions on the solution. The results are illustrated by a numerical example.In dieser Arbeit befassen wir uns mit der Analysis und der numerischen Lösung von Gleichungen vom Black-Scholes-Typ, die in der Modellierung unvollständiger Finanzmärkte auftreten, und dem inversen Problem, die lokale Volatilitätsfunktion in einem verallgemeinerten Black-Scholes-Modell aus beobachteten Optionspreisen zu bestimmen. Im ersten Kapitel wird eine voll nichtlineare Black-Scholes-Gleichung, die das Auftreten von Transaktionskosten in der Optionsbewertung modelliert, mit einem neuen kompakten Finite-Differenzenverfahren höherer Ordnung diskretisiert. Es wird bewiesen, daß das Verfahren uneingeschränkt stabil und nicht-oszillierend ist; das Verfahren ist sehr effizient im Vergleich zu Standardverfahren. Weiter wird gezeigt, daß die Finite-Differenzenlösung lokal gleichmäßig gegen die eindeutige Viskositätslösung des kontinuierlichen Problems konvergiert. Im nächsten Kapitel wenden wir uns dem Kalibrierungsproblem zu, aus Marktdaten lokale Volatilitätsfunktionen in einem verallgemeinerten Black-Scholes-Modell zu berechnen. Wir verfolgen einen optimalen Kontrollansatz in einer Lagrangeformulierung. Die Existenz einer optimalen Lösung wird bewiesen und Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung untersucht. Im weiteren wird ein Algorithmus vorgeschlagen, der auf einem globalisierten quadratischen Programmierungsverfahren und einer primal- dualen aktiven Mengenstrategie basiert, und numerische Ergebnisse werden präsentiert. Im letzten Kapitel betrachten wir eine quasilineare parabolische Gleichung mit Termen mit quadratischen Gradienten, die in der Modellierung eines optimalen Portfolios in unvollständigen Märkten auftritt. Die Existenz schwacher Lösungen wird mittels einer Folge approximativer Lösungen bewiesen. Die Hauptschwierigkeit des Beweises ist dabei, die starke Konvergenz dieser Folge zu zeigen. Darüberhinaus beweisen wir die Eindeutigkeit unter der zusätzlichen Annahme, daß die Ableitungen der Kovarianzmatrix nach der Lösung klein sind, aber ohne zusätzliche Regularitätsannahmen an die Lösung. Die Ergebnisse werden durch ein numerisches Beispiel illustriert