Nonlinear models in Option Pricing

Mestrado Bolonha em Mathematical FinanceThe classic linear Black-Scholes model for option pricing has been derived under several restrictions such as market completeness, continuous trading and zero transaction costs. Despite being easier to understand and to study, this model is very unrealistic. So to say, these assumptions create some discrepancies when the model is compared to the real market and real life. In this dissertation, we are concerned with pricing American put options, which, from the mathematical point of view, leads to the study of free boundary problems. We will admit the presence of transaction costs, which implies considering a non-linear Black-Scholes equation. Our main focus will be on pricing American perpetual put options, with decreasing transaction costs, assuming that the option price is a solution of a generalised stationary Black-Scholes equation, where the volatility function can depend on the second derivative of the option price. We establish an existence and uniqueness result on the option pricing function P and the free boundary position for the associated free boundary value problem.O modelo linear clássico de Black-Scholes para apreçamento de opções foi obtido através de várias restrições, tais como a assunção de um mercado completo, negociação continua e custos de transação nulos. Apesar de ser mais fácil de perceber e de estudar, é um modelo muito irrealista. Assim dizendo, estas condições criam algumas discrepâncias quando o modelo é comparado ao mundo real e ao mercado. Nesta dissertação, o nosso foco é o apreçamento de opções de venda americanas, o que, do ponto de vista matemático, nos leva ao estudo dos problemas de fronteira livre. Vamos admitir a presença de custos de transação, o que implica considerar uma equação de Black-Scholes não linear. O nosso foco principal vai ser o apreçamento de uma opção de venda americana perpétua, com custos de transação decrescentes, assumindo que o preço da opção é a solução de uma equação generalizada estacionária de Black-Scholes, e a volatilidade é uma função que pode depender da segunda derivada do preço da opção. Estabelecemos a existência e unicidade do resultado da função do apreçamento da opção, P, e a posição de fronteira livre, , para o problema de fronteira livre associado.