Multidimensional wavelet bases in Besov and Triebel-Lizorkin spaces

Wydział Matematyki i InformatykiMetody analizy falkowej są ważnym narzędziem w badaniu własności przestrzeni funkcyjnych. Ze względu na bazy falkowe możemy zdefiniować izomorfizm między przestrzeniami funkcyjnymi typu Hardy-Sobolev-Triebel i odpowiednich przestrzeni ciągowych. Te izomorfizmy mogą zredukować wiele problemów z poziomu przestrzeni funkcyjnych do poziomu przestrzeni ciągowych. Więc pytanie o istnienie bazy bezwarunkowej w przestrzeniach funkcyjnych lub charakterystyki falkowej jest bardzo ważne. To podejście może być wykorzystane do badania ograniczoności, zwartości i spektralnych właściwości operatorów działających między przestrzeniami funkcyjnymi. W pracy formułujemy falkową charakterystykę $ B ^ {s,w} _ {p, q} ({\ mathbb R} ^ n) $ i $ F ^ {s,w} _ {p, q} ({\ mathbb R } ^ n) $ przestrzeni z lokalnymi wagami Muckenhoupta $ w$. Pokażemy zastosowania falkowej charakteryzacji. Po pierwsze rozważamy ciągłe włożenia. Następnie uzyskujemy wyniki dotyczące przestrzeni dualnych i interpolacja zespolonej. Pokażemy, że falki Haara mogą być wykorzystane do charakterystyki wagowych przestrzeni funkcyjnych, o ile parametr gładkości jest mały co do wartości bezwzględnej. Na koniec przechodzimy do przestrzeni $ L_p $. Udowadniamy, że wielowymiarowe niejednorodne układy falkowe typu Daubechies są bazą bezwarunkową w $ L_p (\ mathbb {R} ^ n, d \ mu) $, $1 <p <\ infty $, wtedy i tylko wtedy, gdy $ d \ mu = wdx $, gdzie $ w $ jest wagą należącą do lokalnej klasy Muckenhoupta.Methods of wavelet analysis are an important tool in investigating of properties of function spaces. Due to wavelet bases we can define isomorphisms between function spaces of Hardy-Sobolev-Triebel type and corresponding sequence spaces. These isomorphisms reduce many problems from the function spaces level to the sequence spaces level. So the question about existence of an unconditional basis in function spaces or wavelet characterization is very important to investigate their properties. That way of research can be used to investigate boundedness, compactness and spectral properties of operators acting between function spaces. We formulate the wavelet characterization of $B^{s,w}_{p,q}({\mathbb R}^n)$ and $F^{s,w}_{p,q}({\mathbb R}^n)$ spaces with local Muckenhoupt weight $w$. We show some applications of wavelet characterization. First we consider continuous embeddings. Then we obtain results about dual spaces and complex interpolation. We show that Haar wavelets can be used to characterization of weighted function spaces. as far as absolute value of smoothness parameter is small enough. At the end we turn to $L_p$ spaces. We proved that the multidimensional inhomogeneous wavelet system of Daubechies type is an unconditional basis in $L_p(\mathbb{R}^n,d\mu)$, $1<p<\infty$, if and only if $d\mu=wdx$, where $w$ is a weight belonging to the local Muckenhoupt class