Interpolation, Numerische Differentiation und Integration

In dieser Diplomarbeit beschäftigen wir uns mit drei Kapiteln, nämlich der Interpolation, der Numerischen Differentiation und der Numerischen Integration. Im ersten Kapitel geht es um die Interpolation, die die Grundlage für weitere Methoden der Numerik bietet, wie zum Beispiel die Numerische Differentiation und die Numerische Integration. Die Idee ist, dass eine Funktion f mit einem Polynom an n + 1 Stützpunkten übereinstimmt. Wir werden zuerst die Existenz und die Eindeutigkeit des interpolierenden Polynoms betrachten und im Anschluss zwei Algorithmen diskutieren, die das Polynom effizient an einer Stelle x auswerten. Außerdem werden wir noch den Fehler, der durch die Interpolation entsteht, betrachten und eine Komplexitätsanalyse der verschiedenen Algorithmen durchführen. Im zweiten Kapitel beschäftigen wir uns mit der Numerischen Differentiation, die zum Beispiel wichtig ist, um das (lokale oder globale) Extremum einer Funktion zu finden. Wir werden zuerst verschiedene Differenzenquotienten mit Hilfe des interpolierenden Polynoms herleiten und dann den so entstandenen Fehler abschätzen. Im Anschluss betrachten wir die Extrapolation, angewandt auf die Differenzenquotienten, welche eine bessere Approximation der Ableitung der Funktion f(x) ermöglicht. Das dritte Kapitel handelt von der Numerischen Integration, die zum Beispiel wichtig ist für das Lösen von Differentialgleichungen und für die Berechnung von Oberflächen und Volumina. Wir werden zuerst das interpolierende Polynom mit äquidistanten Stützpunkten integrieren. Als Nächstes werden wir den Fehler abschätzen und im Anschluss werden wir eine spezielleWahl der Stützpunkte betrachten, welche die Integration mit maximaler Genauigkeit ermöglicht. Zum Schluss betrachten wir die Extrapolation, angewandt auf die Newton-Cotes- Formeln, die eine bessere Approximation des Integrals der Funktion f(x) ermöglicht.eingereicht von Daniel MotalUniversität Linz, Diplomarbeit, 2017(VLID)238781