Modules Valués: en vue d'applications à la théorie des corps valués de caractéristique positive

This thesis examines valued modules over twisted polynomial rings of the form R = K[t,φ] where φ is an endomorphism of the field K . The motivating examples are the valued fields (M, v) in characteristic p > 0 . where R = K [t ;x ↦ XP ] is the ring of additive polynomials with coefficients in a subfield K of M . In chapters 3 et 4 we establish Ax-Kochen and Ershov type theorems in a two sorted language, with hypotheses analogue to the case of I algebraically maximal Kaplansky fields. In chapter 5 we apply these results to give a complete characterisation of C- minimal valued modules. Rings of Puiseux series on a finite field Fq. considered as valued modules over Fq[t; x ↦xP ] , and algebraically maximal Kaplansky fields with a divisible value group over its ring of additive polynomials are the main examples of C-minimal valued modules. Chapter 6 studies the case of a discrete valuation, in a one sorted language, where the properties related to the valuation are expressed by means of a chain of subgroups. It shows a result of local elimination of quantifiers, which is valid for example for the field Fq((X))Cette thèse étudie les modules values sur des anneaux de polynômes tordus de la forme R := K[t:φ] où φ est un endomorphisme du corps K . Les exemples motivants sont les corps values (M/,v) de caractéristique p>(). où R = K [t ;x ↦ XP ], l'anneau des polynômes additifs à coefficient dans un sous-corps K de M. , Le coeur de la thèse se trouve dans les chapitres 3,4 et 5 où l'on considère les R -modules munis d'une valuation à valeurs dans un ensemble ordonné, muni lui-même d'une action de R , qui, dans un corps value de caractéristique p > 0 , est donnée par la fonction P :γ↦γ̣ · P:=min{p̕ γ+v(α)}. Cette action est notée plus généralement comme ·r. où r ∈ R . Notre idée directrice a été d'exprimer dans ee contexte des propriétés comme comme le lemme de Hensel, la maximalité ou la maximalité algébrique. Cela nécessite l'étude des points irréguliers : ce sont les éléments x ∈ M tels que v(x.r) > v(x) • r pour un r ∈ R \ {0} . Cela permet d'établir divers théorèmes Hensel du type Ax-Kochen et Lrshov dans les chapitres 3 et 4 (cf. 3.3.8-3.3.10 et 4.6.3), et de caraetériser les modules values C -minimaux dans le chapitre 5 (cf. 5,0.7-9). Le chapitre 6 traite le cas d'une valuation discrète, dans un langage à une sorte, où les propriétés valuatives sont exprimées à l'aide d'une chaîne de sous-groupes. On y démontre un résultat local d'élimination des quantificateurs (cf. 6.5.2