Mémoire d'Habilitation à Diriger des Recherches From microstructure to macroscopic properties: Some applications of the Hashin–Shtrikman principle

The present report is submitted in partial fulfilment of the French habilitation degree (Habilitation à Diriger des Recherches). Covering the period 2011–2017, it gives an overview of a selection of my research activities, conducted essentially at Laboratoire Navier.Most of my research has been devoted to understanding how the macroscopic properties of random, heterogeneous materials relate to their microstructure. To investigate this question, I used almost systematically a variational approach based on the Hashin–Shtrikman principle, which results in a fairly consistent report. The reason for selecting such a tool lies in its high versatility; indeed, any trial field is admissible. This is extremely valuable for highly heterogeneous materials, where it can be difficult to propose e.g. admissible stress or strain fields.The Hashin–Shtrikman principle is applied here in two different situations: i. in a statistical (theoretical) setting, and ii. in a numerical setting relying on Galerkin discretizations. In the former situation, the Hashin–Shtrikman principle leads to closed-form (or at least, semianalytical) bounds or estimates of the effective properties. In the latter situation, the Hashin– Shtrikman principle allows to revisit a few existing full-field techniques. My contributions in both areas are discussed in two separate chapters.For the sake of consistency of the present document, some of my research activities (relating to X-ray tomography and image analysis) have been purposely discarded. They are briefly discussed in the last chapter as a part of my prospective research project.Le présent mémoire est soumis pour l’obtention du diplôme d’Habilitation à Diriger des Recherches. Il couvre la période 2011–2017, et donne un aperçu de mes activités de recherches, conduites pour l’essentiel au Laboratoire Navier.Mes recherches ont pour l’essentiel été consacrées à l’étude des relations entre microstructure et ropriétés macroscopiques des matériaux hétérogènes aléatoires. Pour étudier ce problème, j’ai utilisé quasi-systématiquement une approche variationnelle basée sur le principe de Hashin–Shtrikman. Cette méthodologie unifiée conduit à une certaine cohérence de ce mémoire. La raison pour laquelle j’ai très tôt choisi cet outil est son extrême souplesse. En effet, tout champ test est admissible pour le principe de Hashin–Shtrikman. C’est un atout majeur pour les matériaux fortement hétérogènes, pour lesquels il peut être difficile de construire des champs statiquement ou cinématiquement admissibles.Le principe de Hashin–Shtrikman est ici appliqué dans deux situations différentes : i. dans un cadre statistique (théorique), et ii. dans un cadre numérique s’appuyant sur des discrétisations de type Galerkin. Dans la première situation, le principe de Hashin–Shtrikman conduit à des bornes ou estimations analytiques ou au moins semi-analytiques des propriétés macroscopiques. Dans la deuxième situation, le principe de Hashin–Shtrikman permet de revisiter un certain nombre de techniques dites en champ complet. Mes contributions dans ces deuxdomaines sont discutées dans deux chapitres distincts.Afin de garantir la cohérence du présent document, certains de mes travaux de recherche ont volontairement été mis de côté. Il s’agit en particulier de mes travaux relatifs à l’imagerie par tomographie aux rayons X et à l’analyse d’images. Ces thématiques de recherches sont discutées brièvement dans le dernier chapitre de cette thèse, où elles sont réintégrées à mon projet de recherche à venir