Investigation of exotic correlated states of matter in low dimension

Quantum statistics is an important aspect of quantum mechanics and it lays down the rules for identifying dfferent classes of particles. In this thesis, we study two projects, one that surveys models of Fibonacci anyons and another that delves into fermions in optical lattices. We analyse the physics of mobile non-Abelian anyons beyond one-dimension by constructing the simplest possible model of 2D itinerant interacting anyons in close analogy to fermionic systems and inspired by the previous anyonic studies. In particular, we ask the question if spin-charge separation survives in the ladder model for non-Abelian anyons. Furthermore, in the study of this model, we have found a novel physical effective model that possibly hosts a topological gapped state. For fermions in one dimensional optical lattices, we survey the effects of non-adiabatic lattice loading on four different target states, and propose protocols to minimise heating of quantum gases. The evaporative cooling of a trapped atomic cloud, i.e. without the optical lattice potential, has been proven to be a very effective process. Current protocols are able to achieve temperatures as low as T/TF ≈ 0.08, which are lost in the presence of the optical lattice. We aim to understand if defects caused by poor distribution of particles during lattice loading are important for the fermionic case, forbidding the atoms to cool down to the desired level. We device improved ramp up schemes where we dynamically change one or more parameters of the system in order to reduce density defects.La physique statistique quantique formule les règles permettant de classifier les différentes particules. Dans cette thèse nous avons étudié deux projets, l'un portant sur les anyons dits de "Fibonacci" et l'autre sur les fermions sur réseau optique. Ici, nous avons naturellement étendu cette étude aux cas pertinent d'anyons itinérants en interaction sur des échelles. Notre but a été de construire le modèle 2D le simple possible d'anyons itinérants en interaction, analogue direct des systèmes fermioniques et inspiré par les études précédentes. En particulier, nous nous sommes demandé si la séparation spin-charge, bien connu à 1D, pouvait subsister dans le cas d'anyons sur une échelle. De plus, dans l'étude de ce modèle, nous avons découvert une nouvelle phase incompressible pouvant présenter un caractère topologique. Dans le cas des fermions confinés sur un réseau optique unidimensionnel, nous avons étudié les effets d'un chargement non-adiabatique et proposé des protocoles visant à minimiser le réchauffement du gaz quantique. Les atomes ultra-froids sur réseau optique constituent une réalisation idéale pour étudier les systèmes fortement corrélés soumis à un potentiel périodique. Le refroidissement évaporatif d'un nuage d'atomes confiné, c.a.d. sans le potentiel du réseau, s'est avéré être un processus très efficace. Les protocoles courants permettent d'obtenir(pour des fermions) des températures aussi basses que T/TF ≈ 0.08, impossible à réaliser en présence du réseau optique. Notre étude concerne les effets de redistribution de densité pour un système 1D de fermions. Notre but était de voir si des défauts causés par la mauvaise répartition des particules lors du chargement du réseau optique pouvaient empêcher les atomes de se refroidir jusqu'à la température voulue. Nous avons conçu des scenario améliorés où certains paramètres sont modifiés de façon dynamique afin de réduire la densité de défauts créés