Kunnan algebrallinen laajentaminen

Polynomilla x^2 + 1 ei ole juurta reaalilukujen kunnassa, eikä polynomilla x^2-2 ole juurta rationaalilukujen kunnassa. Tässä tutkielmassa osoitetaan, kuinka algebrallisesta näkökulmasta voidaan muodostaa laajempi kunta, jossa näillä polynomeilla on juuri. Tutkielmassa lähdetään liikkeelle tutustumalla abstrakteihin algebrallisiin struktuureihin ja niiden ominaisuuksiin. Algebrallisella struktuurilla tarkoitetaan lukujoukkoa, johon on liitetty yksi tai useampia laskutoimituksia. Algebralliset struktuurit luokitellaan aksiomaattisesti. Tämä tarkoittaa sitä, että ollakseen tietty algebrallinen struktuuri, lukujoukon ja siihen liitettyjen laskutoimitusten tulee täyttää tiettyjä ehtoja. Erityisen mielenkiinnon kohteena tutkielmassa on renkaat ja kunnat. Esimerkiksi reaaliluvut muodostaa yhteen- ja kertolaskun kanssa kunnan. Reaalilukujen laskusäännöt voidaan johtaa kunnan aksioomista. Työn toinen puoli keskittyy polynomirenkaisiin. Polynomit määritellään aluksi lukujonona, jonka alkiot ovat polynomin kertoimia. Polynomien muodostama joukko muodostaa polynomirenkaan. Ykköselliset polynomit, eli polynomit, joihin kuuluu alkio 1, voidaan esittää koulusta tutumpina lausekkeina. Tutkielmassa osoitetaan, että jos polynomilla ei ole juurta polynomirenkaassa, niin jaottoman polynomin avulla voidaan muodostaa laajempi kunta, josta juuri löytyy. Tämä laajempi kunta on jaottoman polynomin virittämä tekijärengas. Tekijärenkaassa alkiot on jaoteltu jakojäännöstensä perusteella eri luokkiin. Tässä tekijärenkaassa alkuperäinen polynomirengas on vain yksi alkio. Esimerkiksi polynomin X^2 + 1 avulla voidaan muodostaa laajempi kunta, kompleksiluvut. Tutkielma pohjautuu Lauri Myrbergin Algebra- oppikirjaan, sekä Jokke Häsän ja Johanna Rämön Johdatus abstraktiin algebraan-kirjaan