L'analogue tropical de la conjecture d'Helton et Nie est vrai

The present results were announced in the conference MEGA2017 (INTERNATIONAL CONFERENCE ON EFFECTIVE METHODS IN ALGEBRAIC GEOMETRY, Université Nice Sophia Antipolis, June 2017, https://mega2017.inria.fr/)International audienceHelton and Nie conjectured that every convex semialgebraic set over the field of real numbers can be written as the projection of a spectrahedron. Recently, Scheiderer disproved this conjecture. We show, however, that the following result, which may be thought of as a tropical analogue of this conjecture, is true: over a real closed nonarchimedean field of Puiseux series, the convex semialgebraic sets and the projections of spectrahedra have precisely the same images by the nonarchimedean valuation. The proof relies on game theory methods.Helton et Nie ont conjecturé que tout ensemble convexe semi-algébrique réel peut s'écrire comme la projection d'un spectraèdre. Scheiderer a réfuté récemment cette conjecture. Nous démontrons, cependant, que le résultat suivant, qui peut être vu comme un analogue tropical de la conjecture d'Helton et Nie, est valide: les ensembles convexes semi-algébriques sur un corps nonarchimédien de séries de Puiseux, et les projections de spectraèdres définis sur le même corps, on précisément les mêmes images par la valuation non-archimédienne. La démonstration de ce résultat utilise des méthodes de théorie des jeu