Generelized complex structures on nilmanifold

La géométrie complexe généralisée est une généralisation de la géométrie complexe obtenue en considérant des structures complexes sur le fibré généralisé T + T*, plutôt que sur le fibré tangent T. Cette géométrie nouvellement définie fournit un language unificateur pour la géométrie complexe et symplectique puisqu'elle contient chacune d'elles comme cas spécial. On étudie une classe d'exemples non-triviaux de structures complexes généralisées: les structures complexes généralisées invariantes à gauche sur des groupes de Lie nilpotents. On montre que toutes les 6-nilvariétés admettent des structures complexes généralisées. En suivant les travaux de (Cavalcanti et Gualtieri, 2004), on présente la classification des 6-nilvariétés selon le type de structures complexes généralisées invariantes à gauche qu'elles admettent. De plus, on montre que les structures complexes généralisées invariantes à gauche sont en correspondance biunivoque avec les structures hermitiennes sur le fibré cotangent d'un groupe de Lie (par rapport à la métrique standard naturelle). On utilise ensuite cette correspondance ainsi que les résultats de (de Andrés et al., 2007) pour déduire que l'algèbre cotangente d'une algèbre de Lie six dimensionnelle quelconque admet une structure hermitienne.\ud __________________________________________________________________________\ud MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : structure complexe généralisée, structure complexe, structure symplectique, structure hermitienne, nilvariétés