Die Wahl der Variablen bei der Formulierung von Stoffgesetzen der mikropolaren Plastizität

Gegenstand dieser Arbeit ist die Entwicklung einer mikropolaren Plastizitätstheorie für finite Deformationen, die kinematische und isotrope Verfestigung berücksichtigt. Charakteristische Eigenschaften der Theorie sind die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten und des mikropolaren Rotationstensors in entsprechende elastische und plastische Anteile. Mittels differentialgeometrischer Konzepte (relative kovariante Ableitung) erfolgt die Definition geeigneter kinematischer Variablen. Die Theorie enthält ein mikropolares Krümmungsmaß in der Momentankonfiguration, das einem räumlichen Gradienten entspricht. Das Elastizitätsgesetz wird vom Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik hergeleitet. Außerdem wird für die Definition der Fließfunktion ein Spannungstensor verwendet, der auf dem Mandelschen Spannungstensor im Rahmen der klassischen (nichtpolaren) Plastizität basiert. Das Fließgesetz wird von dem Postulat von Il'iushin hergeleitet, welches für mikropolare Kontinua angemessen formuliert wird. Die Verfestigungseigenschaften werden in die freie Energie und die Fließfunktion einbezogen, wobei die entsprechenden Evolutionsgleichungen als hinreichende Bedingungen für die Gültigkeit der sogenannten inneren Dissipationsungleichung hergeleitet werden. Auf diese Weise wird für die erarbeiteten mikropolaren Plastizitätsgesetze die thermodynamische Konsistenz gesichert. Mit Hilfe der Methode der finiten Elemente wird das im Rahmen dieser Arbeit entwickelte konstitutive Modell umgesetzt, um beliebige mechanische Strukturen als Anfangsrandwertprobleme betrachten zu können. Dazu werden die schwache Formulierung des Gleichgewichts für mikropolares Materialverhalten und die konsistente Linearisierung der schwachen Form aus der starken Form des quasistatischen Randwertproblems hergeleitet. Auf der Basis dieser Grundgleichungen erfolgt die Beschreibung der Methode der finiten Elemente mittels Einführung einer Diskretisierung und einer isoparametrischen Interpolation. Bei der Integration der Gleichungen findet das Operator-Split-Verfahren Anwendung. Aus den Gleichungen auf Elementebene werden die globalen Gleichungen assembliert und in einer globalen Gleichgewichtsiteration gelöst. Die Finite-Elemente-Methode kann auf beliebige Elementformulierungen angewandt werden. Hier wird ein eigenständig entwickeltes dreidimensionales 8-Knoten-Volumenelement mit Verschiebungs- und Rotationsfreiheitsgraden betrachtet. Dieses Element wird über die Benutzerschnittstelle Uel in das kommerzielle Finite-Elemente-Programm Abaqus implementiert. Die Finite-Elemente-Berechnungen am Beispiel der Torsion eines Vollzylinders demonstrieren, dass das hier entwickelte mikropolare Plastizitätsmodel in der Lage ist, Längenskaleneffekte im Materialverhalten wiederzugeben. Die berechneten Ergebnisse werden qualitativ sowohl mit experimentellen Resultaten als auch mit den numerischen Resultaten einer mikropolaren Plastizitätstheorie verglichen, die ein mikropolares Krümmungsmaß enthält, das einem räumlichen Gradienten in der Bezugskonfiguration entspricht