African Journal Of Mathematical Physics Volume 2Number2 (2005)167-172 Algèbres de Lie Symplectiques d’Ordre k

La notion d’algèbre de Lie symplectiques d’ordre k repose sur l’existence sur l’espace des k-formes différentielles, au dessus d’une n-variéte ́ B, d’une (k + 1)-forme généralisant la forme de Liouville sur le fibre ́ tangent. Le cas particulier k = 1 correspond a ̀ une struc-ture symplectique classique dotée d’un feuilletage lagrangien; cette dernière structure est usuellement appelée polarisation réelle au sens de Molino, Clark et Goel. Les struc-tures de contact d’ordre supérieur, développées au sein du Laboratoire de Mathématiques de Mulhouse dont l’idée mâıtresse a éte ́ suggérée depuis longtemps par G.Reeb, sont reliées a ̀ la géométrie multisymplectique d’une manière analogue aux structures symplec-tiques et structures de contact, ou encore, structures k-symplectiques et k-systèmes de contact. Dans ce contexte, G.Martin a donne ́ une extension du théorème de Darboux-Moser-Weinstein et a présente ́ une nouvelle classe de structures dynamiques. Ici, l’étude des structures symplectiques d’ordre k invariantes a ̀ gauche sur un groupe de Lie, nous ont conduit a ̀ étudier les algèbres de Lie symplectiques d’ordre k nilpotentes et leurs classifications en petite dimension