Invariants l-adiques, p-adiques et géométriques en familles de variétés

This thesis is divided in 8 chapters. Chapter 1 is of preliminary nature: we recall the tools that we will use in the rest of the thesis and some previously known results. Chapter 2 is devoted to summarize in a uniform way the new results obtained in this thesis. The other six chapters are original. In Chapters 3 and 4, we prove the following: given a smooth proper morphism f:Y→X over a smooth geometrically connected base X over an infinite finitely generated field of positive characteristic, there are lots of closed points x∈|X| such that the rank of the N'eron-Severi group of the geometric fibre of f at x is the same of the rank of the N'eron-Severi group of the geometric generic fibre. To prove this, we first study the specialization of the ℓ-adic lisse sheaf R²f_*ℚℓ(1)(ℓ≠p), then we relate it with the specialization of the F-isocrystal R²f_{*,crys}O_{Y/K}(1) passing trough the category of overconvergent F-isocrystals. Then, the variational Tate conjecture in crystalline cohomology, allows us to deduce the result on the N'eron-Severi groups from the results on R²f_{*,crys}O_{Y/K}(1). These extend to positive characteristic results of Cadoret-Tamagawa and Andr'e in characteristic zero. Chapters 5 and 6 are devoted to the study of the monodromy groups of (over)convergent F-isocrystals. Chapter ref{chaptermarcuzzo} is a joint work with Marco D'Addezio. We study the maximal tori in the monodromy groups of (over)convergent F-isocrystals and using them we prove a special case of a conjecture of Kedlaya on homomorphism of convergent F-isocrystals. Using this special case, we prove that if A is an abelian variety without isotrivial geometric isogeny factors over a function field F over F¯_p, then the group A(F^{perf})_{tors} is finite. This may be regarded as an extension of the Lang--N'eron theorem and answer positively to a question of Esnault. In Chapter 6, we define overline Q_p-linear category of (over)convergent F-isocrystals and the monodromy groups of their objects. Using the theory of companion for overconvergent F-isocrystals and lisse sheaves, we study the specialization theory of these monodromy groups, transferring the result of Chapter 3 to this setting via the theory of companions. The last two chapters are devoted to complements and refinement of the results in the previous chapters. In Chapter 7, we show that the Tate conjecture for divisors over finitely generated fields of characteristic p above 0 follows from the Tate conjecture for divisors over finite fields of characteristic p above 0. In Chapter 8, we prove uniform boundedness results for the Brauer groups of forms of varieties in positive characteristic, satisfying the ℓ-adic Tate conjecture for divisors. This extends to positive characteristic a result of Orr-Skorobogatov in characteristic zero.Cette thèse est divisée en huit chapitres. D’abord, dans le Chapitre 1, on présente des résultats et des outils déjà connus qu’on utilisera dans la suite de la thèse. Le Chapitre 2 est consacré à résumer de maniére uniforme les nouveaux résultats présentés dans ce manuscrit. Les six chapitre restants sont originals. Dans les Chapitres 3 et 4 on démontre la chose suivante: soit f:Y→X un morphisme lisse et prope sur une base X lisse et géométriquament connexe sur un corps infini, finiment engendré et de caractéristique positive. Alors il y a beaucoup de points fermées x∈|X| tels que le rang du groupe de Néron-Severi de la fibre géometrique de f en x est le même du groupe de Néron-Severi de la fibre géométrique générique. On preuve ça de la façon suivante: on étudie la spécialisation du faisceau lisse ℓ-adique R²f_*ℚℓ(1)(ℓ≠p); en suite, on le relit avec la spécialisation du F-isocristal R²f_{*,crys}O_{Y/K}(1) en passant par la catégorie des F-isocristaux surconvergents. Au final, la conjecture de Tate varationelle dans la cohomologie cristalline, nous permet de déduire le résultat sur les groupes de Néron-Severi depuis le résultat sur R²f_{*,crys}O_{Y/K}(1). Cela étend en caractéristique positive les résultats de Cadoret-Tamagawa et André en caractéristique zero. Les Chapitres 5 et 6 sont consacrés à l’étude des groupes de monodromie des F-isocristaux (sur)convergents. En particulier, les résultats dans le Chapitre 5 sont un travail en common avec Marco D'Addezio. On étude les tores maximaux des groupes de monodromie des F-isocristaux (sur)convergents et on utilise ça pour démontrer un cas particulier d’un conjecture de Kedlaya sur les homomorphismes de F-isocristeaux convergents. En utilisant ce cas particulier, on démontre que si A est une variété abélienne sans facteurs d'isogonie isotrivial sur un corps de fonctions F sur F¯_p, alors le groupe A(F^{perf})_{tors} est fini. Cela peut être considéré comme une extension du théoreme de Lang—Néron et donne une réponse positive a une question d'Esnault. Dans le Chapitre 6, on définit une catégorie overline Q_p-linéaire des F-isocristeaux surconvergents et les groupes de monodromie de ces objets. En exploitant la théorie des compagnons pour les F-isocristeaux surconvergents et les faisceaux lisses, on étudie la théorie de spécialisation de ces groupes de monodromie en transférant les résultats du Chapitre 3 dans ce contexte. Les derniers deux chapitres complètent et affinent les résultats des chapitres précédents. Dans le Chapitre 7, on démontre que la conjecture de Tate pour les diviseurs sur les corps finiment engendrés et de caractéristique p supérieur à 0 est une conséquence de la conjecture de Tate pour les diviseurs sur les corps finis de caractéristique p supérieur à 0. Dans le Chapitre 8, on démontre des résultats de borne uniforme en caractéristique positive pour le groupes de Brauer des formes des variétés qui satisfasse la conjecture de Tate ℓ-adique pour les diviseurs. Cela étend en caractéristique positive un résultat de Orr-Skorobogatov en caractéristique zéro