Large time behavior of solutions of a generalized Cauchy-Dirichlet problem for viscous Hamilton-Jacobi equations

Cette thèse, constituée de trois grandes parties, a pour objet l’étude générale ducomportement, en temps grands, de l’unique solution du problème de Cauchy-Dirichlet pour deséquations de Hamilton-Jacobi visqueuses de type sur et sous quadratiques. Après un bref rappeldes notions de base de la théorie sur les solutions de viscosité qui constitue le cadre de ce travail, lapremière partie établit des résultats sur l’existence globale en temps et l’unicité de la solution deviscosité dudit problème de Cauchy-Dirichlet. La deuxième partie s’intéresse au comportement decette solution pour des Hamiltoniens sur quadratiques. Sous des hypothèses très générales, nousprouvons que le comportement de la solution dépend du signe de l’unique constante ergodiquec du problème ergodique associé à des conditions aux limites de type contrainte d’état. Lorsquec∗ 0 et 3/2 0et 1 0 and 3/2 0 et 1 < m ≤ 3/2; we prove that for some domains,the function u(x; t)+c∗t is unbounded from below where u is the solution of the studied viscousHamilton-Jacobi, thus providing us with a result of non-convergence