Über numerische Differentiationsprozesse

Gegeben sei eine Funktion f(x) im Intervall [a,b]CR$^{1}$ von der bekannt ist, daß $f(x) \epsilon C^{k}_{[a,b]}$. Gesucht ist (I.1)*) $f^{(k)}(\overline{x})$, k > 1, an einer festen Stelle $\overline{x} \epsilon [a,b]$. Die angenäherte Berechnung des linearen Funktionals (I.2) $D^{k}f = f^{(k)} (\overline{x})$durch lineare Funktionale der Form (I.3) $D^{k}_{n}f = \sum^{n}_{i=1} A_{i}f(x_{i})$wobei die $\underline{Gewichte}$ A$_{i}$ und die $\underline{Stützstellen}$ $x_{i}\epsilon[a,b]$, i = 1(1)n gewöhnlich reelle Zahlen sind, ist die Aufgabe der numerischen Differentiation. Numerische Differentiation ist z.B. dann nicht zu umgehen, wenn eine an diskreten Stellen gegebene Funktion zu differenzieren ist, oder wenn von einer Funktion eine Ableitung in geschlossener analytischer Form nicht angebbar ist wie z.B. bei der Gamma-Funktion. Aber auch dann, wenn eine Ableitung zu sehr komplizierten Ausdrücken führt, kann numerische Differentiation angebracht sein. (vgl. Beispiel 1, S. 4) Es kann nämlich einmal die Berechnung der differenzierten Funktion an einer festen Stelle viel zeitraubender sein als die Anwendung einer Differentiationsformel, zum anderen kann eine solche Rechnung, etwa in Gleitkommaarithmetik, durchaus von zweifelhaftem numerischem Wert sein. Darüber hinaus braucht numerische Differentiation nicht als Selbstzweck betrieben zu werden. Bei der Approximation durch cubic splines, z.B. mit äquidistanten Abszissen $x_{k+1} = x_{k} + h$, erhält man für den Spline s(x) im Intervall $[x_{k}, x_{k+1}]$ (vgl. z.B. [35])$^\ast)$ (I.4) $s(x) = \frac{1}{6h} \lbrace (x - x_{k-1})^3 s^{"}_{k} - (x - x_{k}) ^{3} s^{"}_{k-1} + (x-x_{k-1}) (6y_{k} - h^{2} s^{"}_{k}) - (x - x_{k}) (6y_{k-1} - h^{2} s^{"}_{k-1}) \rbrace$, wobei die $s^{"}_{k}$ sich aus Gleichungen der Form (I.5) $\frac{1}{6} (s^{"}_{k-1} + 4 s^{"}_{k} + s^{"}_{k+1}) = \frac{1}{h^{2}} (y_{k-1} - 2y_{k} + y_{k+1})$ berechnen. Die rechte Seite ist aber eine Approximation von $y^{"}_{k}$. [...