Theorie der Dämpfung von Phononen in festem Helium

Festes Helium ist aus verschiedenen Gründen ein interessantes Objekt für theoretische Untersuchungen. Einmal kennt man dasWechselwirkungspotential zwischen den Atomen recht gut, so daß es möglich sein sollte, die Eigenschaften des Heliums "from first principles" aus zu berechnen. Zum anderen nimmt Helium, ähnlich wie Wasserstoff, als sogenannter Quantenkristall$^{1}$ eine besondere Stellung unter den Kristallen ein. Infolge der kleinen Masse der Heliumatome und ihrer schwachen Wechselwirkung ist die Nullpunktenergie in diesem Kristall von der Größenordnung der potentiellen Energie und daher die Nullpunktamplitude nicht mehr klein, verglichen mit dem Gitterabstand. Damit bricht die klassische harmonische Näherung selbst als Ausgangspunkt für eine Störungsrechnung zusammen$^{2}$. Man muß zu quantenmechanischen Methoden greifen, um den Heliumkristall zu beschreiben.Das Heliumatom ist ein sehr kleines Atom. Außerdem ist seine Elektronenhülle abgeschlossen; d.h. die Polarisierbarkeit des Heliumatoms ist sehr klein. Die Polarisierbarkeit geht in die van-der-Waals'sche Anziehung quadratisch, in die Drei-Körperkräfte aber in dritter Potenz ein, so daß die Drei-Körperkräfte vernachlässigbar sind. Den Heliumkristall kann man daher mit einem Hamiltonoperator, der nur Zwei-Körperkräfte enthält, gut beschreiben. Diese Zwei-Körperkräfte sind trotz der einfachen Struktur des Heliumatoms bisher noch nicht berechnet worden. Man kann aber hoffen, daß dies in nicht zu ferner Zukunft einmal geschehen wird. Bisher ist man auf experimentelle Ermittlung des Potentials angewiesen. Man benutzt dazu Messungen des zweiten Virialkoeffizienten$^{3}$. Die freien Parameter in den möglichen analytischen Ansätzen für das Potential werden dadurch ermittelt, daß man den daraus berechneten zweiten Virialkoeffizienten mit dem experimentellen möglichst gut in Übereinstimmung bringt. Wählen wir, wie es in den meisten Arbeiten über festes Helium geschieht, als analytische Form das 6-12-Potential nach Lennard-Jones $V(v) = 4 \epsilon \Big[\Big(\frac{\sigma 0}{v}\Big)^{12} - \Big( \frac{\sigma 0}{v}\Big)^{6}\Big] - \epsilon$ ist die Tiefe:-:des Potentialminimums und $\sigma_{0} (\sigma_{0} = 2,556 \mathring{A}$ für He) die Nullstelle - so erhalten wir für Helium einen Wert von 10,2 k für $\epsilon$ im Gegensatz zu den anderen Edelgasen, deren $\epsilon$ von 34,9 k beim Neon bis zu 221 k beim Xenon reichen. Die He-He-Bindung ist also, verglichen mit den Bindungen der anderen Edelgase, sehr schwach. [...