A bilevel approach for parameter learning in inverse problems

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Frage, wie Regularisierungsparameter bei der Tikhonov-Regularisierung von inversen Problemen anhand von gegebenen Datengewählt werden können. Dies führt uns zu einem zweistufigen Optimierungsproblem. Hierbei entspricht das Optimierungsproblem auf der niedrigeren Stufe dem Tikhonov-regularisierten inversen Problem, parametrisiert in den Regularisierungsparametern. Im höherstufigen Problem bestimmen wir, welche Regularisierungsparameter zu den besten Resultaten geführt haben, wobei wir annehmen die exakte Lösung des inversen Prob-lems zu kennen. Wir leiten Bedingungen her, die die Lösbarkeit dieses zweistufen Optimierungsproblems garantieren und verifizieren diese Bedingungen für einige Standardbeispiele. Wir diskutieren Schwierigkeiten die entstehen, wenn das Optimierungsproblemder niedrigeren Stufe nicht konvex ist. Unter einigen Einschränkungen, leiten wir auch Optimalitätsbedingungen für das zweistufige Optimierungsproblem her. Anschließendtesten wir die entwickelte Theorie anhand einiger Beispiele. Desweiteren demonstrieren wir, wie die auf diese Weise bestimmten Regularisierungsparameter weiter verwendetwerden können.In this work we study how regularization parameters in Tikhonov regularization of inverse problems can be determined based on given data. This leads us to a bileveloptimization problem, where the lower level problem is a Tikhonov regularized inverse problem parametrized in the regularization parameters. In the upper level problem wedetermine which regularization parameters lead to the best results by measuring the distance between solutions to the lower level problem and the ground truth data. We deriveconditions which ensure that this bilevel optimization problem has a solution, and we verify these conditions for some standard examples. We discuss difficulties arising fromnon convex lower level problems, and we give an example to illustrate those difficulties. Optimality conditions are given under some restrictions. Numerical experiments areperformed to test the developed theory and to show how the determined regularization parameters can be used in related problems.vorgelegt von Gernot HollerZusammenfassungen in Deutsch und EnglischKarl-Franzens-Universität Graz, Masterarbeit, 2017(VLID)224112