The discontinuous Hopf-transversal system and its geometric regularization

Dit proefschrift is een studie naar Hopf-transversaal (HT) systemen, een klasse van vlakke Filippov systemen. Een HT systeem bestaat uit twee families van vlakke vectorvelden die van elkaar worden gescheiden door een gladde discontinu"iteitsgrens. Aan een kant van de grens ondergaat het systeem een Hopf bifurcatie terwijl het vectorveld aan de andere kant de grens transversaal snijdt. In een HT systeem komen vijf families van codimensie-1 bifurcaties generiek voor. Het punt waarin al deze bifurcaties samenkomen heet een grens-Hopf-zadelknoop (GHZ) bifurcatie die codimensie 3 heeft. De belangrijkste bijdrage van dit proefschrift is de afleiding van generieke ontvouwingen van de GHZ bifurcatie, die juist geschikte HT families blijken te zijn. We bewijzen dat deze ontvouwingen structureel stabiel zijn in een bepaalde zin van contactequivalentie hetgeen leidt tot diffeomorfe persistentie van de bifurcatieverzameling waarbij de dynamica topologisch stabiel is. Veelbelovend onderzoek naar Filippov systemen richt zich op de relatie tussen de dynamica van het discontinue systeem en een regularisatie (d.w.z. een continue of gladde benadering) daarvan. De vraag is in welke mate de dynamische eigenschappen van het Filippov systeem gerelateerd zijn aan corresponderende eigenschappen van het geregulariseerde systeem. Van bijzonder belang zijn regularisaties door middel van systemen met snelle en langzame tijdschalen waarvoor de theorie reeds verder is ontwikkeld. In onze benadering worden Filippov systemen benaderd door continue, stuksgewijs gladde dynamische systemen. Deze aanpak heeft als voordeel dat de invariante verzamelingen `onveranderd' blijven. We passen onze regularisatiemethode toe op generieke codimensie-1 bifurcaties van vlakke Filippov systemen en op HT systemen