Stochastic processes governed by Markovian processes: How to account for short-term time dependency of successive increments in the estimation of bankruptcy risks

We introduce a new class of processes aiming at modelling random fluctuations of an asset value more efficiently than traditional Lévy processes. In this study, we consider that the object value C is a real discrete random process (N → R), whose increments are subject to the present state of a "market", described by a Markovian process M : as the successive market states are not pairwise independent, C's fluctuations are not independent either, so C cannot be assimilated as a Lévy process. We call this structure a C-process : we present methods to analyze it, mainly extending the notion of Lundberg's parameter of a diffusion Lévy process, to take M into account during the computations. Once done, we aim more specifically at controlling C's default time T0 = min ({t ∈ N|C(t) < 0}) : we achieve it through its log-Laplace transform to get some of its properties, like C's default probability.Nous introduisons une nouvelle classe de processus dont l'objet est de modéliser les fluctuations de la valeur d'un actif plus efficacement que le font les processus habituels Lévy. Dans cette étude, nous considérons que la valeur objet C est un processus aléatoire discret réel (N → R), dont les incréments sont soumis à l'état courant d'un "marché" décrit par un processus Markovien M : les états successifs du marché n'étant pas indépendants deux à deux, les fluctuations de C ne le sont pas non plus, donc C ne peut pas être assimilé à un processus de Lévy. Nous nommons cette structure un C-processus : nous présentons des méthodes pour l'analyser, notamment en étendant la notion d'exposant de Lundberg d'un processus de diffusion de Lévy, en tenant compte de M durant les calculs. Par la suite, nous nous intéresserons plus précisément au contrôle du temps de faillite de C, T0 = min ({t ∈ N|C(t) < 0}) : nous le ferons via sa transformée de log-Laplace afin d'obtenir certaines de ses propriétés, comme la probabilité de faillite de C