Géométrie des espaces de tenseurs - Une approche effective appliquée à la mécanique des milieux continus

Tensorial formulation of mechanical constitutive equations is a very important matterin continuum mechanics. For instance, the space of elastic tensors is a subspace of 4thorder tensors with a natural SO(3) group action. More generaly, we have to study thegeometry of a tensor space defined on R 3 , under O(3) group action.To describe such a geometry, we first have to exhibit its isotropy classes, also namedsymetry classes. Indeed, each tensor space possesses a finite number of isotropy classes.In this present work, we propose an original method to obtain isotropy classes of a giventensor space. As an illustration of this new method, we get for the first time the isotropyclasses of a 8th order tensor space occuring in second strain-gradient elasticity theory.In the case of a real representation of a compact group, invariant algebra seperatesthe orbits. This observation motivates the purpose to find a finite generating set of poly-nomial invariants. For that purpose, we make use of the link between tensor spaces andspaces of binary forms, which belongs to the classical invariant theory. We thus have todeal with SL(2, C) group action. To obtain new results, we have reformulated and rein-terpreted effective approaches of Gordan’s algorithm, developped during XIXth century.We then obtain for the first time a minimal generating family of elasticity tensor space,and a generating family of piezoelectricity tensor space. Using linear algebra arguments,we were also able to get important relations of classical invariant theory, such as theGordan’s series and the Abdesselam–Chipalkatti’s quadratic relations on transvectants.Plusieurs lois de comportement mécaniques possèdent une formulation tensorielle,comme c’est par exemple le cas pour l’étude des matériaux élastiques. Dans ce cas in-tervient un sous-espace de tenseurs d’ordre 4, noté Ela et appelé espace des tenseursd’élasticité. Les questions de classification des matériaux élastiques passent alors par lanécessité de décrire les orbites de l’espace Ela sous l’action du groupe SO(3). Plus gé-néralement, on est amené à étudier la géométrie d’un espace de tenseurs sur R^3 , vial’action du groupe O(3).Cette géométrie est tout d’abord caractérisée par ses différentes classes d’isotropies,encore appelées classes de symétries. Chaque espace de tenseurs possède en effet unnombre fini de classes d’isotropies. Nous proposons dans notre travail une méthode ori-ginale et générale pour obtenir les classes d’istropie d’un espace de tenseurs quelconque.Nous avons ainsi pu obtenir pour la première fois les classes d’isotropie d’un espace detenseurs d’ordre 8 intervenant en théorie de l’élasticité linéaire du second-gradient de ladéformation.Dans le cas d’une représentation réelle d’un groupe compact, l’algèbre des polynômesinvariants sépare les orbites, ce qui motive donc la recherche d’une famille génératriceminimale de polynômes invariants. Celle-ci se fait en exploitant le lien existant entreles espaces de tenseurs et les espaces de formes binaires et plus précisément la théorieclassique des invariants. On ne fait donc plus intervenir le groupe SO(3) mais le groupeSL(2, C). Nous avons ainsi repris et ré-interprété les approches effectives de cette théo-rie, notamment développées par Gordan au XIX e siècle. Cette ré-interprétation nous apermis d’obtenir de nombreux résultats, notamment la détermination d’une famille gé-nératrice minimale d’invariants pour l’élasticité mais aussi pour la piézoélectricté. No-tons aussi que nous avons pu retrouver d’une façon simple des relations importantesintervenant en théorie classique des invariants, à savoir les fameuses séries de Gordan,ainsi que des relations plus récentes d’Abdesselam–Chipalkatti sur les transvectants deformes binaires