Alignments, crossings, cycles, inversions, and weak Bruhat order in permutation tableaux of type $B$

International audienceAlignments, crossings and inversions of signed permutations are realized in the corresponding permutation tableaux of type $B$, and the cycles of signed permutations are understood in the corresponding bare tableaux of type $B$. We find the relation between the number of alignments, crossings and other statistics of signed permutations, and also characterize the covering relation in weak Bruhat order on Coxeter system of type $B$ in terms of permutation tableaux of type $B$.De nombreuses statistiques importantes des permutations signées sont réalisées dans les tableaux de permutations ou ”bare” tableaux de type $B$ correspondants : les alignements, croisements et inversions des permutations signées sont réalisés dans les tableaux de permutations de type $B$ correspondants, et les cycles des permutations signées sont comprises dans les ”bare” tableaux de type $B$ correspondants. Cela nous mène à relier le nombre d’alignements et de croisements avec d’autres statistiques des permutations signées, et aussi de caractériser la relation de couverture dans l’ordre de Bruhat faible sur des systèmes de Coxeter de type $B$ en termes de tableaux de permutations de type $B$