Free loop spaces, Koszul duality and A-infinity algebras

This thesis consists of four papers on the topics of free loop spaces, Koszul duality and A∞-algebras. In Paper I we consider a definition of differential operators for noncommutative algebras. This definition is inspired by the connections between differential operators of commutative algebras, L∞-algebras and BV-algebras. We show that the definition is reasonable by establishing results that are analoguous to results in the commutative case. As a by-product of this definition we also obtain definitions for noncommutative versions of Gerstenhaber and BV-algebras. In Paper II we calculate the free loop space homology of (n-1)-connected manifolds of dimension of at least 3n-2. The Chas-Sullivan loop product and the loop bracket are calculated. Over a field of characteristic zero the BV-operator is determined as well. Explicit expressions for the Betti numbers are also established, showing that they grow exponentially. In Paper III we restrict our coefficients to a field of characteristic 2. We study the Dyer-Lashof operations that exist on free loop space homology in this case. Explicit calculations are carried out for manifolds that are connected sums of products of spheres. In Paper IV we extend the Koszul duality methods used in Paper II by incorporating A∞-algebras and A∞-coalgebras. This extension of Koszul duality enables us to compute free loop space homology of manifolds that are not necessarily formal and coformal. As an example we carry out the computations for a non-formal simply connected 7-manifold. Denna avhandling består av fyra artiklar inom ämnena fria öglerum, Koszuldualitet och A∞-algebror. I Artikel I behandlar vi en definition av differentialoperatorer för ickekommutativa algebror. Denna definition är inspirerad av kopplingar mellan differentialoperatorer för kommutativa algebror, L∞-algebror och BV-algebror. Vi visar att definitionen är rimlig genom att etablera resultat som är analoga med resultat i det kommutativa fallet. Som en biprodukt får vi också definitioner för ickekommutativa varianter av Gerstenhaber och BV-algebror. I Artikel II beräknar vi den fria öglerumshomologin av (n-1)-sammanhängande mångfalder av dimension minst 3n-2. Chas-Sullivans ögleprodukt och öglehake beräknas. Över en kropp av karakteristik noll beräknas även BV-operatorn. Explicita uttryck för Bettitalen fastställs också, vilka visar att de växer exponentiellt. I Artikel III begränsar vi koefficienterna till en kropp av karakteristik 2. Vi studerar Dyer- Lashofoperationer som existerar på den fria öglerumshomologin i detta fall. Explicita beräkningar görs för mångfalder som är sammanhängande summor av produkter av sfärer. I Artikel IV utvidgar vi Koszuldualitetmetoden som används i Artikel II genom att inkorporera A∞-algebror och A∞-koalgebror. Denna utvidgning av Koszuldualitet gör det möjligt att beräkna fri öglerumshomologi för mångfalder som inte nödvändigtvis är formella och koformella. Som ett exempel utför vi beräkningar för en ickeformell enkelt sammanhängande 7-mångfald. At the time of the doctoral defense, the following papers were unpublished and had a status as follows: Paper 3: Manuscript. Paper 4: Manuscript.