Zur Gittertheorie von festem Helium und andern van-der-Waals-Kristallen aus leichten Atomen

a) In den letzten Jahren haben die Kristallgitter leichter Atome oder Moleküle, die durch van-der-Waals-Kräfte aneinander gebunden sind, erhöhte Aufmerksamkeit gefunden. Wir denken an festes Neon und festes Helium, aber auch an festen Wasserstoff, obwohl im festen Wasserstoff Moleküle H$_{2}$ bzw. D$_{2}$ dieElementarbausteine des Gitters bilden. Das physikalische Interesse an diesen Stoffen versteht man leicht aus folgenden Gründen: 1. Es sind die Zwei-Körper-Kräfte zwischen den Atomen bzw. Wasserstoffmolekülen aus Messungen des zweiten Virialkoeffizienten und aus der Theorie gut bekannt. Da die Polarisierbarkeit $\alpha$der Atome und Moleküle in die van-der-Waalssche Anzeihung quadratisch, in die Drei-Körper-Kräfte aber in dritter Potenz eingeht, $\alpha$ aber bei kleinen Atomen (He, auch H$_{2}$) bzw. abgeschlossener Hülle (Ne) relativ klein ist, hat man die berechtigte Aussicht, mit einem Modell, das nur die Zwei-Körper-Kräfte mitnimmt,die Kristalle gut zu beschreiben. 2. Da die Masse der Atome oder Moleküle klein sein soll, ihre Anziehungskräfte wegen der kleinen Polarisierbarkeit aber auch klein sind, werden die Teilchen weite Nullpunktschwingungen um ihre mittleren Lagen im Gitter ausführen, d.h. die Quantentheorie wird eine größere Rolle in der Gittertheorie leichter Atome spielen als in der bekannten Gittertheorie schwerer Atome. Diese übliche Gittertheorie kann nur bei kleinen Auslenkungen aus der mittleren Lage angewendet werden. Da man nämlich die potentielle Energie um die mittleren Lagen nach den Auslenkungen entwickelt, müßte man bei den Kristallen aus leichten Atomen diese Entwicklung sehr weit treiben, bis man eine ausreichend genaue Beschreibung des Kristalls erhält. Es ist aber bekannt, daß die Berücksichtigung vieler Glieder dieser Entwicklung über das quadratische hinaus einen außerordentlichen rechnerischen Aufwand verlangt. Der Ausgangspunkt einer solchen Berücksichtigung ist stets die quasiharrnonische Näherung, d.h. die Diagonalisierung des quadratischen Teils der potentiellen Energie bzw. des Hamiltonoperators. "Quasi"-harmonisch heißt dabei, daß die Kopplungskräfte zwischen den Atomen noch Funktionen der Gitterkonstante sind, die noch von der Temperatur abhängt. Die Gitterkonstante selbst wird durch Minimalisierung der freien Enthalpie festgelegt. Das quasiharrnonische Modell ist nur stabil, wenn alle Frequenzen der zu dem Modell gehörigen Phononen reell sind. Nun haben aber 1965 de Wette und Nijboer (1] gezeigt, daß für festes He$^{3}$ und He$^{4}$ zu einem ganzen Bereich von Wellenvektoren $\kappa$ in der quasiharmonischen Näherung imaginäre Frequenzen gehören. Ein solcher Ausgangspunkt wäre als nullte Näherung also noch sehr weit von den Verhältnissen entfernt, die man beschreiben will. Als Beispiel für das Potential zwischen zwei Atomen führen wir das vorn Helium an. Die analytischen Formen, die man dafür in der Literatur findet, enthalten zwei Parameter, die aus dem zweiten Virialkoeffizienten bestimmt wurden. Wir wählen hier die Form eines 6 - 12 - Potentials nach Lennard und Jones, die in den meisten Arbeiten aus Gründen der rechnerischen Bequernlichkei t verwendet wurde. Es lautet ( Fig. 1) (1.1) V(r) = 4 $\epsilon$ $\Big( \Big( \frac{\sigma_{o}}{r} \Big) ^{12} - \Big( \frac{ \sigma_{o}}{r} \Big)^{6} \Big)$ [...