Properties for extreme-valued degrees in recursive trees

In this work we are concerned with recursive trees and linear preferential attachment trees. These are random tree growth processes; that is random networks, with no cycles that evolve with time by sequentially connecting new vertices to the existing network. Despite having similar descriptions, there are several qualitative differences between recursive trees and linear preferential attachment trees; for example, their degree distributions and maximum degrees. Although the vertices with highest degree have been described for linear preferential attachment trees, an study for recursive trees with the same level of detail is missing in the literature. We obtain a description, in very much detail, of the number and location of vertices with near-maximal degrees in recursive trees. From this, we comment on the qualitatively different behavior compared with linear preferential attachment trees. Additionally, we establish central limit theorems for the number of nodes with large degree, strengthen previous results about the limiting distribution of the maximum degree, and apply our methodology to raise a question about targeted cuttings in recursive trees.Dans cet ouvrage, nous nous intéressons aux arbres récursifs et aux arbresd'attachement préférentiel linéaire. Ce sont des processus aléatoires de croissance des arbres; c'est-à-dire des réseaux aléatoires, sans cycles, qui évoluent avec le temps en reliant séquentiellement de nouveaux sommets au réseau existant. En dépit de descriptions similaires, il existe plusieurs différences qualitatives entre les arbres récursifs et les arbres d'attachement préférentiel linéaire; par exemple, leurs suites de degrés et leurs degrés maximaux. Bien que les sommets des degrés les plus élevés ont été décrits pour les arbres d'attachement préférentiel linéaire, une étude aussi approfondie de ceux-ci dans les arbres récursifs est absente dans la littérature.Nous obtenons une description avec autant de détails du nombre et de l'emplacement des sommets des degrés près du maximal dans les arbres récursifs. De ce point de vue, nous soulignons le comportement qualitativement différent par rapport aux arbres d'attachement préférentiel linéaires. De plus, nous établissons des théorèmes de limite centrale pour le nombre de noeuds avec hauts degrés. Ainsi, on renforce des résultats précédents sur la distribution limite du degré maximal. Enfin, nous appliquons notre méthodologie pour élever à une question sur les attaques ciblées dans les arbres récursifs