An Ale Approach For Free Surface Simulations

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2016Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2016Çok fazlı akışlar günlük yaşantımızda, endüstriyel uygulamalarda ve doğa olaylarında karşımıza çıkmaktadırlar. Kavitasyonlu pompalar, birbirine karışmayan sıvıların üretimi ve reaksiyonu, kan akışı, mürekkep jeti (ink jet) gibi endüstriyel uygulamalar ile heyelan, sis, sel vb. pek çok doğa olayı çok fazlı akışlara örnektirler. Serbest yüzey akışları ise çok fazlı akışların özel bir türü olarak düşünülebilirler. Çok fazlı akışların fiziksel temelinin anlaşılması tek fazlı akışlara nazaran daha karmaşıktır ve uygun modelleme yönteminin seçimi, akışın türüne bağlıdır. Bu akışların modellenmesinde en büyük zorluk zamana bağlı olarak değişen arayüzün konumunun ve biçiminin doğru bir biçimde belirlenmesidir. Simülasyonda kullanılacak olan nümerik yöntem, ağ yapısında büyük deformasyonlara olanak sağlamalı ve arayüzde istenilen çözünürlüğün yakalanmasına olanak tanımalıdır. Hesaplamalı akışkanlar dinamiği içerisinde çok fazlı akışlar için çeşitli yöntemler bulunmaktadır. Bu yöntemler Lagrangian yöntemler olarak bilinen, arayüzü takip eden yöntemler ile Eulerian olarak bilinen arayüzü yakalayan yöntemler olarak ikiye ayrılabilirler. Markers on Interface yöntemi arayüzü takip eden yöntemlere, Marker and Cell (MAC), Volume of Fluid (VOF) ve Level Set yöntemleri ise arayüzü yakalayan yöntemlere örnek olarak verilebilir. Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) yöntemi hem Lagrangian yöntemlerinin hem de Eulerian yöntemlerinin avantajlarını bir araya getirmektedirler ve Lagrangian yöntemlerde olduğu gibi iki faz arasındaki yüzeyi zamana bağlı olarak takip etmektedirler. Ayrıca yöntemin kararlı olabilmesi ve evrensel korunum yasalarının sağlanması bakımından geometrik korunum kanunu olarak bilinen (GCL) bir diferansiyel denklemi de sağlamak durumundadırlar. Bu çalışmada 2 boyutlu yükselen baloncuk probleminin simülasyonunu gerçekleştirmek için kenar merkezli, yapısal olmayan, sonlu hacimler yöntemine dayalı ALE yöntemi geliştirilmiştir. Geliştirilen yöntemde hız vektör bileşenleri her bir kenarın orta noktasına ve basınç değerleri her bir elemanın merkezine yerleştirilmiştir. Bilinmeyenlerin bu şekilde yerleştirilmesi yöntemin kararlı olmasına ve basınç noktalarının birbirleriyle etkileşimi için özel bir değişiklik yapılmamasına olanak sağlamıştır. Ayrıca süreklilik denklemi her bir eleman içerisinde tam olarak sağlanmakta ve bu denklemlerin toplanmasıyla hesaplama alanı içerisindeki küresel süreklilik denklemi elde edilmektedir. Geliştirilen yöntemin kararlılığı açısından geometrik korunum kanunu (GCL), ayrık bir biçimde sağlanmıştır. İki akışkan arasında basınç süreksizliğinin tam olarak sağlanabilmesi için denklemler ayrıklaştırılırken ilgili akıların katkısının doğru bir şekilde saptanmasına özen gösterilmiştir. Sayısal hesaplama bölgesi içerisindeki ağ yapısının deformasyonu ise [59] tarafından sunulan doğrusal elastisite denklemlerinin uyarlanmasıyla sağlanmıştır. Zaman integrasyonu için ikinci mertebeden geri farklar formülü kullanılmıştır. Küçük zaman adımlı zamana bağlı akışların çözümü için oluşan cebirsel denklemlerin çözümünde FGMRES(m) Krylov iterasyon yöntemi, ön koşullandırıcı ile kullanılmıştır. Süreklilik denkleminden hızın diverjansının sıfır olması, oluşturulan denklem sistemine ait katsayı matrisinde sıfır blok diyagonal oluşmasına sebep olmuştur. Oluşan sıfır blok diyagonal, bütün sistem için verimli ön koşullandırıcıların uygulanmasını zorlaştırmaktadır. Mevcut yöntemde, orjinal sistemdeki sıfır blok yerine ölçeklenmiş bir ayrık Laplacian oluşturan bir üst üçgen sağ ön koşullandırıcı uygulanmaktadır. Bu ön koşullandırma, matris-matris çarpımları nedeniyle sıfır olmayan eleman sayısında belirgin bir artışa neden olmaktadır. Bu yüzden ön koşullandırıcının sıfır olmayan bloğu, hesaplama açısından daha az pahalı bir matris ile değiştirilmektedir. Momentum denkleminde basınç gradyanlarına olan katkı, hız vektörlerinin ayrıklaştırıldığı ortak eleman yüzeyini paylaşan sağ ve sol elemanlardan kaynaklanmaktadır. Bu yüzden, ön koşullandırıcının sıfır olmayan bloğunda kullanılan matris, sadece bu katkılardan kaynaklanan terimleri içermektedir. Bu yaklaşım iteratif çözücünün yakınsama karakterini çok belirgin şekilde etkilemese de hesaplama zamanı ve hafıza gereksinimlerinde ciddi azalmalara sebep olmaktadır. Ön koşullandırılmış iteratif yöntemin ve matris işlemlerinin uygulanmasında PETSc (Portable, Extensible Toolkit for Scientific Computation) kütüphanesinden yararlanılmıştır. Bu kütüphane, doğrusal ve doğrusal olmayan denklem çözücülerinin paralel uygulaması için oluşturulmuş veri yapılarını ve rutinlerini içermektedir. Ayrıca iki fazlı akış için oluşturulan yapısal olmayan ağ yapısı, METIS kütüphanesi kullanılarak alt parçalara ayrılmıştır. Bu kütüphane, yapısal olmayan grafik ve çözüm ağlarının paralel programlamaya yönelik parçalanması için geliştirilmiş programlar içermektedir. Serbest yüzey akışları için geliştirilen bu çözücü, literatürde mevcut olan iki farklı test problemine uygulanmıştır. İlk doğrulama problemi, statik baloncuk problemidir. Bu problemde, yüzey gerilme kuvvetlerinin hesabında eğrisellik hesabı yerine [61]'de sunulan alternatif denklem kullanılmıştır. Bu denklem yüzey gerilme kuvvetlerinin hesabında eğriselliğin hesaplanması yerine ilgili yüzeylerin birim teğet vektörlerinin hesaplanarak sonuca gidilebileceğini ifade etmektedir. Bu çalışmada, yüzeylerin birim teğet vektörlerinin hesabında, [61]'de kullanılan Legendre polinomlarının yanı sıra iki farklı yaklaşıma daha başvurulmuştur ve kullanılan bu yöntemlerin etkileri incelenmiştir. Bu yaklaşımlar 4. bölümde detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Geliştirilen algoritmada, denklemler ayrıştırılırken hız vektörlerinin ayrıklaştırıldığı ortak eleman yüzeyini paylaşan sağ ve sol elemanlardan gelen katkılar birbirlerinden ayrıldığından, arayüzde süreksiz bir basınç alanının elde edilmesi sağlanmıştır. İkinci doğrulama problemi ise 2 boyutlu yükselen baloncuk problemidir. Bu problemde baloncuğun yükselmesi ile birlikte ağ yapısı zamanla deformasyona uğramaktadır. Bu yüzden ağ yapısının deformasyonu için uygun bir yaklaşım yapılması oldukça önemlidir. Ağ yapısında, arayüz üzerindeki kenar noktalarının hareketinin sağlanmasında dört farklı yöntem kullanılmıştır. Bu yöntemler uygulanırken toplam hacmin yanı sıra iki akışkanın kütlelerinin ayrı ayrı korunmasına özen gösterilmiştir ve 4. bölümde detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Simulasyon zamanı üçüncü saniyeye erişinceye kadar geliştirilen çözücü çalıştırılmıştır. Hız ve basınç alanlarının yanı sıra şekil, alan, ağırlık merkezi, dairesellik, yükselme hızı gibi baloncuğa ait sayısal değerler de zamana bağlı olarak hesaplanarak [70] ve [71] tarafından sunulan veriler ile doğrulama yapılmıştır. Tezin genel taslağı şu şekildedir: İlk bölümde çok fazlı akışların simülasyon yöntemlerine ilişkin genel bilgiler sunulmuştur. İkinci bölümde sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemleri türetilmiştir. Üçüncü bölümde mevcut çalışmada kullanılan ALE yöntemi tanıtılmıştır. Dördüncü bölümde ALE yöntemine dayalı sonlu hacimler formülasyonu ve mesh deformasyonu için kullanılan yöntem açıklanmış, toplam hacmin yanı sıra her iki akışkanın kütlesini de ayrı ayrı koruyacak şekilde arayüz üzerindeki kenar noktalarının hareketi için geliştirilen yöntem detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Beşinci bölüm simülasyon sonuçlarını ve altıncı bölüm ise son görüşleri içermektedir.Multiphase flows are encountered in many of our day to day activities. Numerous industrial and energy conversion processes must deal with multiphase flow such as cavitating pumps to prevent noise and erosion of structures, chemical production-mixing and reaction of immiscible liquids, energy production-liquid fuel combustion. Multiphase flows are also common in nature such as storm surges, avalanches, water waves, fog, flood, ocean tides and numerous natural phenomena. In addition, free surface flows are the special type of multiphase flows. In multiphase flows, the basic understanding of the physical phenomena is still rather complex in contrast to single-phase flows, where the physics is relatively well understood. In addition, physical phenomena differs significantly in different types of flows unlike single-phase flows. Therefore, the appropriate modelling technique depends on the type of flow. One of the difficulties in the simulation of the free surface flows is the determination of the location and shape of the interface which is time dependent. The numerical method should deal with the large distortions and ensure an accurate resolution of the interfaces. In computational fluid dynamics (CFD), there are several methods for the numerical simulation of multiphase flows. These methods can be classified into two categories basically which are Lagrangian methods where the interface is tracked and Eulerian methods where the interface is captured. Markers on Interface method can be given as an example to Lagrangian methods and Marker and Cell (MAC), Volume of Fluid (VOF) and Level Set methods can be given as an example to Eulerian methods. Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) method combines the advantages of both Lagrangian and Eulerian algorithms and tracks the interface time dependently as it is done in Lagrangian methods. In addition, in order to satisfy the conservation laws and numerical stability, ALE method should satisfy a spcial law which is known as geometric conservation law (GCL). In this study, numerical simulation of 2-dimensional rising bubble problem is investigated using an ALE approach. An unstructured side centered, finite volume method based on Arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation is developed. In this method, velocity vector components are defined at the mid-point of each cell face and the pressure is defined at the element centroid. Therefore, a stable numerical scheme is achieved and there is no need to any ad-hoc modifications in order to enhance pressure coupling. Furthermore, the continuity equation is satisfied within each element exactly and the global mass conservation is satisfied by the summation of the continuity equations for each element. For the stability of the developed numerical algorithm, the discrete geometric conservation law (DGCL) is satisfied at machine precision. In addition, in order to achieve the pressure jump across the interface exactly, a special attention is given for the numerical evaluation of fluxes. Mesh deformation algorithm presented by [59] is modified where the deformation of the computational domain is achieved by considering the fluid domain is made of linear elastic materials. For the computation of surface tension forces, an alternative equation presented in [61] is used instead of calculating the curvature. Two other approaches are made to determine unit tangent vector at the vertices of the grid points as well as Legendre polynomials which is also presented in [61]. In addition, for the tracking of grid vertices at the interface, four different approach is proposed. The interface boundary conditions are imposed in a way that the mass of both species is conserved at discrete level as well as the total volume which are described in Chapter 4 in detail. The numerical results are presented in Chapter 5 and the calculations reveal highly accurate numerical results. Obtained results are compared with the data provided by [70] and Gretar Tryggvason [71]. The thesis is organized as follows: The first chapter gives the brief review of the numerical methods on multiphase flow. The second chapter shows the derivations of the governing equations for the incompressible Navier-Stokes equations. The third chapter describes the ALE approach used in the current work. The fourth chapter describes the ALE based finite volume formulation and the method used for mesh deformation. In addition, the algorithm developed for the tracking of grid vertices at the interface by conserving the mass of both species at discrete level as well as the total volume is presented. The fifth chapter gives the results of the numerical simulations and sixth chapter includes the conclusions and final remarks.Yüksek LisansM.Sc