Mathematische Geographie : die Theorie der Karten, Distanzen und Kurswinkel

Diese Diplomarbeit behandelt das Thema der mathematischen Geographie. Zu Beginn werden die zwei Grundprobleme der mathematischen Geographie genauer betrachtet. Diese Grundproblematiken sind erstens die Distanzbestimmung auf der Erdoberfläche und zweitens die Bestimmung der Kurswinkel zur Navigation. Im ersten Kapitel wird näher auf die Methode zur zeichnerischen Lösung der beiden Grundprobleme eingegangen. Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit der Geometrie auf der Kugeloberfläche. In der Fachsprache wird diese Geometrie als sphärische Geometrie bezeichnet. In dieser Arbeit werden die wichtigsten Begriffe der sphärischen Geometrie angeführt und der sphärische Distanzbegriff definiert und hergeleitet. Zusätzlich wird der Seiten-Kosinussatz bewiesen. Mit seiner Hilfe können die zwei Grundprobleme rechnerisch ganz elegant und schnell gelöst werden. Kapitel 3 zeigt die verschiedenen Unterteilungen von Kartennetzentwürfen in Gruppen auf. Ein Kartennetzentwurf ist eine Abbildung, die die Punkte der Erdoberfläche in die Ebene abbildet. Im vierten Kapitel wird genauer auf den bekanntesten Kartennetzentwurf eingegangen. Dies ist die Mercatorprojektion von Gerardus Mercator, die er 1569 veröffentlicht hat. Dabei wird bewiesen, dass die Mercatorkarten der Erde winkeltreu sind. Das letzte Kapitel gibt schlussendlich einen kleinen Einblick in die Differentialgeometrie. So werden zuerst wichtige Eigenschaften des IR n wiederholt, ehe parametrisierte Kurven und Flächen definiert werden. Nach einigen zusätzlichen Definitionen kann dann die erste Fundamentalform definiert werden. Danach wird gezeigt, dass die Länge einer parametrisierten Kurve, der Winkel zwischen zwei Tangenten der sich schneidenden Kurven und die Größe von parametrisierten Flächenstücken von den Koeffizienten der ersten Fundamentalform abhängen. Durch dieses Ergebnis kann dann noch ein Kriterium für die Bestimmung der drei Treueeigenschaften von allgemeinen Abbildungen bewiesen werden.This thesis deals with the subject of mathematical geography. Initially, the two basic problems of mathematical geography are considered in more detail. These fundamental issues are, first, the determination of distance on the earth's surface and secondly to determine the course angle for navigation. The first chapter explores in greater detail the method for drawing solution of the two fundamental problems. The second chapter deals with the geometry on the sphere. In the mathematical terminology, this geometry is called a spherical geometry. In this work, the main terms of the spherical geometry are listed and defined. The spherical distance term and the cosine rule for the spherical geometry will be proved. With its help the two basic problems can be solved mathematically very easily and fast. Chapter 3 presents the various subdivisions of map projections in different groups. A map projection is a projection that maps the points of the earth's surface in the plane. The fourth chapter takes a closer look at the best-known map projection. This is the Mercator projection of Gerardus Mercator, which he published in 1569. It is proved that the Mercator map of the world is equal of angle. The last chapter finally deals with the differential geometry. So first the important properties of IR n be repeated before parameterized curves and surfaces are defined. After some additional definitions the first fundamental form can be defined. Then it is shown that the length of a parameterized curve, the angle between two tangents of the intersecting curves and the size of parametric surfaces depend on the coefficients of the first fundamental form. As a result a criterion for determining the three loyalty properties of general projection can be proved.vorgelegt von Wolfgang SchäfferZusammenfassungen in Deutsch und EnglischAbweichender Titel laut Übersetzung des Verfassers/der VerfasserinKarl-Franzens-Universität Graz, Diplomarbeit, 2016(VLID)139021