Sur une classe de fonctions arithmétiques liées aux diviseurs d'un entier

RésuméSoit l = d1 < d2 < … < dτ(n) = n la suite croissante des diviseurs d'un entier générique n. Nous étudions l'élément maximal E d'une classe de fonction arithmétique qui contient, entre autres, la fonction d'Erdös f définie par f(n): = card{i ϵ [1,τ(n)[: (di, di + 1) = 1} et les fonctions κs définies par κs(n): = card{d ¦n: (d, s) = 1, d(d + s) ¦n}. Dans le prolongement de la méthode de Tenenbaum [T91], nous montrons, en particulier, l'inégalitéE(n) ≤ τ(n)c avec c: = log 3log2 − 23 = 0,9182958…. Grâce à un résultat combinatoire de Baranyai, nous établissons l'optimalité de cet exposant.AbstractLet l = d1 < d2 < … < dτ(n) = n be the increasing sequence of divisors of an integer n. We study the maximal element E of an class of arithmetic functions. The class has, among others, the Erdös's function f defined by f(n): = card{i ϵ [1,τ(n)[: (di,di + 1) = 1} and the functions κs defined by κs(n): = card{d ¦n: (d, s) = 1, d(d + s) ¦n }. Developing the Tenenbaum's method [T91], we show, in particular, the inequality E(n) ⩽ τ(n)cc: = log 3log2 − 23 = 0,9182958…. with A combinatorial result of Baranyai yields the optimality of this exponent