La formule de Poisson-Plancherel pour un groupe de Takiff associé à un groupe de Lie semi-simple à centre fini

RésuméSoit S un groupe de Lie semi-simple à centre fini, s son algèbre de Lie, G le produit semi-direct de S par s et g l'algèbre de Lie de G. On établit précisément la formule de Poisson-Plancherel pour le groupe G, formule conjecturée par M. Vergne pour un groupe de Lie quelconque. Pour ce faire, on étudie les transformées de Fourier, au sens distribution, des intégrales orbitales sur g (définies par M. Duflo (Représentations unitaires des groupes de Lie et méthode des orbites, in “G.M.E.L.,” Bordas Paris 1982) et généralisant à g celles introduites par Harish-Chandra pour un groupe de Lie semi-simple), ainsi que les rapports entre ces transformées de Fourier et ce qui nous semble être la généralisation à g∗ des intégrales orbitales de Harish-Chandra