Dynamique des fractions continues à contraintes périodiques

RésuméOn étudie ici, dans un cadre général, les nombres réels, rationnels, ou irrationnels quadratiques dont le développement en fraction continue obéit à un ensemble de contraintes non nécessairement fini mais périodique. Plus précisément, on détermine la dimension de Hausdorff de l'ensemble des réels contraints, la densité des rationnels et des irrationnels quadratiques contraints. Puis, on analyse le comportement moyen de l'algorithme d'Euclide sur ces rationnels contraints ainsi que la longueur moyenne de la période des irrationnels quadratiques contraints et la valeur moyenne de la constante de Lévy des irrationnels quadratiques contraints. En associant un opérateur qui engendre cet ensemble de contraintes, on relie tous les objets étudiés aux propriétés spectrales dominantes de cet opérateur. En ce qui concerne la dimension de Hausdorff et la densité des rationnels contraints, les résultats présentés étendent à des contraintes quelconques des résultats précédents obtenus uniquement dans le cas de contraintes élémentaires. Les autres études—densité des irrationnels quadratiques contraints; comportement moyen de la hauteur et de la période d'un développement en fraction continue contraint; valeur moyenne de la constante de Lévy des irrationnels quadratiques contraints—semblent nouvelles même dans le cas d'une contrainte élémentaire