Géométrie des simplexes de moyennes invariantes

RésuméOn étudie l'ensemble E des points extrémaux du simplexe M des moyennes topologiquement invariantes sur un groupe G localement dénombrable à l'infini, et moyennable. On caractérise E par la façon dont ses éléments peuvent s'approcher par les moyennes (non invariantes) obtenues grace aux conditions de Folner. On en déduit que E est d'intérieur vide relativement à M, et même qu'il est topologiquement si petit qu'il ne contient pas de Gδ non vide de M. Lorsque G est abélien, on montre que E n'est pas fermé, et même qu'il ne contient pas de Gδ non vide de l'espace E. On en déduit que E est topologiquement très irrégulier. On applique ces résultats à l'étude des mesures invariantes sur βN. Si l'on désigne par M̃ le simplexe des moyennes invariantes (non nécessairement topologiquement invariantes), on montre que M est si petit relativement à M̃, qu'il ne contient pas de Gδ non vide de M̃. Enfin on essaye d'étudier la “position” de M dans M̃. Lorsque G = R, on montre qu'il existe un point de E qui n'est pas extrémal dans M̃ (et on conjecture qu'aucun point de E n'est extrémal dans M̃)