Extension de quelques theoremes sur les densites de series d'elements de n a des series de sous-ensembles finis de n

AbstractFor a sequence A = {Ak} of finite subsets of N we introduce: δ(A) = infm⩽nA(m)2n, d(A) = lim infn→∞ A(n)2n, where A(m) is the number of subsets Ak ⊆ {1, 2, …, m}.The collection of all subsets of {1, …, n} together with the operation a ∪ b, (a ∩ b), (a ∗ b = a ∪ b ⧹ a ∩ b) constitutes a finite semi-group N∪ (semi-group N∩) (group N∗). For N∪, N∩ we prove analogues of the Erdös-Landau theorem: δ(A+B) ⩾ δ(A)(1+(2λ)−1(1−δ(A>))), where B is a base of N of the average order λ. We prove for N∪, N∩, N∗ analogues of Schnirelmann's theorem (that δ(A) + δ(B) > 1 implies δ(A + B) = 1) and the inequalities λ ⩽ 2h, where h is the order of the base.We introduce the concept of divisibility of subsets: a|b if b is a continuation of a. We prove an analog of the Davenport-Erdös theorem: if d(A) > 0, then there exists an infinite sequence {Akr}, where Akr | Akr+1 for r = 1, 2, …. In Section 6 we consider for N∪, N∩, N∗ analogues of Rohrbach inequality: 2n ⩽ g(n) ⩽ 2n, where g(n) = min k over the subsets {a1 < … < ak} ⊆ {0, 1, 2, …, n}, such that every m ϵ {0, 1, 2, …, n} can be expressed as m = ai + aj.Pour une série A = {Ak} de sous-ensembles finis de N on introduit les densités: δ(A) = infm⩽nA(m)2m, d(A) = lim infn→∞ A(n)2n où A(m) est le nombre d'ensembles Ak ⊆ {1, 2, …, m}. L'ensemble de toutes les parties de {1, 2, …, n} devient, pour les opérations a ∪ b, a ∩ b, a ∗ b = a ∪ b ⧹ a ∩ b, un semi-groupe fini N∪, N∩ ou un groupe N∗ respectivement. Pour N∪, N∩ on démontre l'analogue du théorème de Erdös-Landau: δ(A + B) ⩾ δ(A)(1 + (2λ)−1(1−δ(A))), où B est une base de N d'ordre moyen λ. On démontre pour N∪, N∩, N∗ l'analogue du théorème de Schnirelmann (si δ(A) + δ(B) > 1, alors δ(A + B) = 1) et les inégalités λ ⩽ 2h, où h est l'ordre de base. On introduit le rapport de divisibilité des enembles: a|b, si b est une continuation de a. On démontre l'analogue du théorème de Davenport-Erdös: si d(A) > 0, alors il existe une sous-série infinie {Akr}, où Akr|Akr+1, pour r = 1, 2, … . Dans le Paragraphe 6 on envisage pour N∪, N∩, N∗ les analogues de l'inégalité de Rohrbach: 2n ⩽ g(n) ⩽ 2n, où g(n) = min k pour les ensembles {a1 < … < ak} ⊆ {0, 1, 2, …, n} tels que pour tout m ϵ {0, 1, 2, …, n} on a m = ai + aj