Hauteur des hypersurfaces et fonctions Zêta d'Igusa

RésuméOn associe à toute hypersurface Z dans PN définie par l'annulation d'un polynôme P deux fonctions Zêta ζS(P, s) et ζE(P, s). Leur dérivée en zéro est reliée à la hauteur hO(1)(Z) de Z pour la métrique de Fubini–Study. Pour certaines hypersurfaces, on donne des expressions intégrales simples de ζE(P, s). On en déduit le calcul de la hauteur de certaines hypersurfaces toriques et de certaines quadriques. Comme cas particulier, on obtient la hauteur de la grassmannienne G(2, 4) vue comme hypersurface dans P5 grâce au plongement de Plücker: c'est un nombre rationnel