Analyse d'Algorithmes Stochastiques Appliqués à la Finance

This thesis is about stochastic approximation analysis and application in Finance. In the first part, a convergence result for stochastic approximation where the innovations satisfy averaging assumptions with some rate is established. It is applied to different types of innovations and illustrated on examples mainly motivated by Finance. A result on "universal" rate of convergence is then presented when the innovations are uniformly distributed and compared to those obtained in the i.i.d. framework. The second part is devoted to applications. First an optimal allocation problem applied to dark pools is studied. The execution of the maximum of the desired quantity leads to the design of a constrained stochastic algorithm studied in the i.i.d. and averaging frameworks. The next chapter presents a constrained optimization stochastic algorithm with projection to find the optimal posting distance in a limit order book by minimizing the execution cost of a given quantity. Parameter implicitation and calibration in financial models using stochastic approximation are then studied and illustrated by examples of applications on Black-Scholes, Merton and pseudo-CEV models. The last chapter is about stochastic approximation application to randomized urn models used in clinical trials. Thanks to ODE and SDE methods, the consistency and asymptotic normality results of Bai and Hu are retrieved under less stringent assumptions on the generating matrices.Cette thèse porte sur l'analyse d'algorithmes stochastiques et leur application en Finance notamment et est composée de deux parties. Dans la première partie, nous présentons un résultat de convergence pour des algorithmes stochastiques où les innovations vérifient une hypothèse de moyennisation avec une certaine vitesse. Nous l'appliquons ensuite à différents types d'innovations (suites i.i.d., suites à discrépance faible, chaînes de Markov homogènes, fonctionnelles de processus \alpha-mélangeant) et nous l'illustrons à l'aide d'exemples motivés principalement par la Finance. Nous établissons ensuite un résultat de vitesse ''universelle'' de convergence dans le cadre d'innovations équiréparties dans [0,1]^q et nous confrontons nos résultats à ceux obtenus dans le cadre i.i.d.. La seconde partie est consacrée aux applications. Nous présentons d'abord un problème d'allocation optimale appliqué au cas d'un nouveau type de place de trading: les {\em dark pools}. Ces places proposent un prix d'achat (ou de vente) certain, mais n'assurent pas le volume délivré. Le but est alors d'exécuter le maximum de la quantité souhaitée sur ces places. Ceci mène à la construction d'un algorithme stochastique sous contraintes à l'aide du Lagrangien que nous étudions dans les cadres d'innovations i.i.d. et moyennisantes. Le chapitre suivant présente un algorithme d'optimisation pour trouver la meilleure distance de placement d'ordres limites: il s'agit de minimiser le coût d'exécution d'une quantité donnée. Ceci mène à la construction d'un algorithme stochastique sous contraintes avec projection. Pour assurer l'existence et l'unicité de l'équilibre, des critères suffisants sur certains paramètres du modèle sont obtenus à l'aide d'un principe de monotonie opposée pour les diffusions unidimensionnelles. Le chapitre suivant porte sur l'implicitation et la calibration de paramètres dans des modèles financiers. La première technique mène à un algorithme de recherche de zéro et la seconde à une méthode de gradient stochastique. Nous illustrons ces deux techniques par des exemples d'applications sur 3 modèles: le modèle de Black-Scholes, le modèle de Merton et le modèle pseudo-CEV. Enfin le dernier chapitre porte sur l'application des algorithmes stochastiques dans le cadre de modèles d'urnes aléatoires utilisés en essais cliniques. A l'aide des méthodes de l'EDO et de l'EDS, nous retrouvons les résultats de consistance (convergence p.s.) et de normalité asymptotique (TCL) de Bai et Hu mais sous des hypothèses plus faibles sur les matrices génératrices. Nous étudions aussi un modèle ''multi-bras'' pour lequel nous retrouvons le résultat de convergence p.s. et nous montrons un nouveau résultat de normalité asymptotique par simple application du TCL pour les algorithmes stochastiques