Singularités dans le modèle de Landau-de Gennes pour les cristaux liquides

In this thesis we consider the Landau-de Gennes variational model for nematic liquid crystals. Nematic liquid crystals are an intermediate phase of matter, which shares properties both with liquids and crystalline solids. They are composed of molecules which can flow freely, but tend to align locally along some preferred directions. Nematic phases exhibit defects, which can occur at isolated points or along lines, and are one of their mean features. This thesis mainly aims at discussing some results towards the mathematical understanding of defects and their generation, within the framework of the Landau-de Gennes theory.In the first chapter, we study minimizers of the energy functional in a bounded, smooth domain in dimension two. We are interested in their asymptotic behaviour as the elastic constant tends to zero. We show that minimizers converge to a locally minimizing harmonic map, with a finite number of point singularities. Moreover, minimizers are biaxial in the core of defects. Biaxiality means that more than one preferred direction of molecular alignment exists at a given point.Chapter two deals with the asymptotic analysis of minimizers in dimension three. We assume that the energy is comparable to the logarithm of the elastic constant and prove a compactness result, as in the two-dimensional case. However, the limiting map is now allowed to have line singularities as well as point singularities. We also provide sufficient conditions for the logarithmic energy estimate to be satisfied.In the third chapter, we study the existence of radially symmetric minimizers on spherical shells, in dimension three. We prove that, if the shell width is small enough or the temperature is low enough, then there exists a unique minimizer for the Landau-de gennes energy, which is radially symmetric. Finally, in chapter four, we discuss a topological obstruction to the existence of unit vector fields of low regularity on a compact manifold with boundary. This result can be understood as a first step in the analysis of some variational models for a surface coated with a thin nematic film.Dans cette thèse, nous nous intéressons aux cristaux liquides nématiques, qui sont une phase de la matière intermédiaire entre les liquides et les solides cristallins ; en particulier, les molécules peuvent se déplacer librement, mais elles tendent à s’orienter localement dans une direction commune. Ces états sont caractérisés par la présence de défauts ponctuels ou de ligne. L’objectif principal de cette thèse est d’apporter une contribution à l’étude mathématique des défauts, dans le cadre de la théorie variationnelle de Landau-de Gennes.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons aux minimiseurs de l’énergie dans des domaines bornés et réguliers de dimension deux. Nous nous intéressons au comportement asymptotique lorsque la constante élastique du matériau tend vers zéro. Nous montrons que les minimiseurs convergent vers une application localement harmonique, avec un nombre fini de singularités ponctuelles. Au voisinage de celles-ci, les minimiseurs sont biaxes, c’est-à-dire, deux directions d’alignement local sont présentes en tout point.Le deuxième chapitre est consacré à l’analyse asymptotique des minimiseurs en dimension trois, en supposant l’énergie majorée par le logarithme de la constante élastique. Comme dans le cas bidimensionnel nous obtenons un résultat de compacité des minimiseurs, mais cette fois l’application limite peut présenter à la fois des singularités ponctuelles et de ligne. Nous donnons aussi des conditions suffisantes pour que l’hypothèse sur l’énergie évoquée précédemment soit satisfaite.Le troisième chapitre porte sur l’existence de minimiseurs à symétrie radiale dans une couronne en dimension trois. Nous montrons que, si la largeur de la couronne est petite ou la température est suffisamment basse, alors il existe un unique minimiseur, qui est à symétrie radiale, pour l’énergie de Landau-de Gennes. Enfin, dans le dernier chapitre nous présentons une obstruction topologique à l’existence de champs de vecteurs unitaires de faible régularité, sur des variétés compactes à bord. Ce résultat peut être considéré comme une étape préliminaire à l’étude de certains modèles variationnels pour les films nématiques sur une surface